¿Cuál será el resto cuando 17 ^ 200 se divide por 18?


Mejor respuesta

\ mathbf {\ text {Primera solución.}}

17 ^ {200} \ equiv 17 ^ {200} \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ text {Segunda solución usando el teorema de Euler.}}

\ text { (17, 18) son relativamente primos. Podemos usar el teorema de Euler.}

\ text {Función totient de Euler.}

\ varphi (18) = 18 \ left (1 – \ dfrac {1} {2} \ derecha) \ left (1 – \ dfrac {1} {3} \ right) = 18 \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) = 6

17 ^ {6} \ equiv 1 \ mod {18}

\ implica (17 ^ {6}) ^ {33} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {198} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv 17 ^ 2 \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ 2 \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ por lo tanto \, \, \ text {1 es el resto cuando} \, \, 17 ^ {200} \, \, \ text {se divide por 18}}

Respuesta

Queremos el resto cuando 17 ^ {200} se divide por 18.

17 \ equiv (-1) \ pmod {18}.

\ Rightarrow \ qquad 17 ^ {200} \ pmod {18} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ qquad \ equiv 1 \ pmod {18} \ equiv 1.

\ Rightarrow \ qquad El resto cuando 17 ^ {200} se divide entre 18 es 1.

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