Mejor respuesta
Solo cuando θ = 0.
Es geométricamente obvio que para cualquier θ entre 0 y π / 2, 2sinθ es la longitud de la cuerda de un arco de radianes medida 2θ en un círculo de radio 1. Y dado que la cuerda es más corta que el arco, debemos tener sinθ <θ para todos esos θ. Y, por supuesto, si θ> 1, entonces sinθ . Finalmente, sinθ <θ para todo positivo θ implica sinθ> θ para todo negativo θ.
Incluso si θ se mide en grados, sinθ no puede ser igual a θ a menos que θ = 0, simplemente porque la medida en radianes de un arco de θ grados es πθ / 180, que es mucho más pequeño que θ.
Respuesta
Creo que la mejor pregunta es, puede \ cos \ theta igual a 2?
Probablemente sepa que no puede si \ theta es el ángulo de un triángulo en geometría plana, porque la hipotenusa de un triángulo rectángulo es más larga longitudes de sus piernas, y la pierna adyacente no puede ser el doble de la longitud de la hipotenusa. De manera similar, si \ theta es cualquier número real, porque \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Por lo tanto, si \ theta \ in \ mathbb R, entonces -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, por lo que \ cos \ theta no puede ser 2.
Sin embargo, afirmamos que si z \ in \ mathbb C, es posible para \ cos z = 2. De hecho, la definición analítica compleja del coseno es \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, por lo que terminamos con una ecuación cuadrática, que con suerte la mayoría de nosotros estamos acostumbrados a .
Deseamos resolver \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2. Tomando w = e ^ {iz}, esto se convierte en \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2, o equivalentemente, w ^ 2-4w + 1 = 0. Luego aplicamos la fórmula cuadrática:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Dado que w = e ^ {iz}, podemos tomar el registro natural, pero debemos estar cuidado : así como a ^ 2 = b ^ 2 no implica a = b (solo implica a = \ pm b), e ^ a = e ^ b no implica a = b, solo implica a = b + 2 \ pi ik para algunos k \ in \ mathbb Z. Por lo tanto,
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
Luego simplemente multiplicamos por -i para obtener el valor de z:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Podemos finalmente reescribir nuestra solución, notando que 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3}, y por lo tanto \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
El comportamiento de \ cos z como función analítica compleja imita la función trigonométrica en la dirección real y el coseno hiperbólico en la dirección imaginaria; de hecho, puede que sepa que \ cos (iz) = \ cosh z y \ sin (iz) = i \ sinh z; y la combinación de estos hechos con la fórmula de la suma del coseno implica \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, con x, y \ in \ mathbb R. Esto proporciona una forma alternativa de calcular el responder. Philip Lloyd tiene un gran diagrama sobre esto: la respuesta de Philip Lloyd a ¿Por qué «t cos theta no puede ser igual a 2?