Mejor respuesta
Cuentemos la aparición del dígito 2 primero en 1 a 10. Solo hay 1 allí, es decir, para el número 2.
A continuación, tome los siguientes diez números y cuente la aparición del dígito 2 en ellos, y obtenemos 2, es decir, en los números 12 y 20.
De la misma manera, ocurre 10 veces en los números 21 al 30, como ocurre dos veces en 22.
Continuando de la misma manera para los siguientes números hasta 120 inclusive, averigüe que existe una vez cada diez números más una vez más, total 10.
Entre 121 y 130 ocurre nuevamente 10 veces, como ocurre nuevamente dos veces en 122.
De 131 a 190, el dígito 2 aparece una vez cada 10 números, un total de 6.
Y en los últimos diez números (191-200) aparece dos veces.
Sumando todas las ocurrencias juntas encontramos que el dígito 2 aparece 41 veces, es decir, en los números 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 , 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 y 200.
Respuesta
Te mostraré dos reglas, puede haber muchos.
Entre ellos, el primero es fácil y el segundo es más matemático y científico:
Proceso 1:
Si hacemos n ^ 5, el último dígito del resultado siempre será el mismo que el último dígito de n.
Ahora, si sumamos (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
El último dígito vendrá como el último dígito de la suma (1 + 2 + 3 +… .. + 99) .
Ahora,
El último dígito de la suma (1 + 2 + 3 +… .. + 99)
= El último dígito de \ frac {99 \ times (99 + 1)} {2}
= El último dígito de \ frac {99 \ times 100} {2}
= 0
Entonces, el último dígito de la suma,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5) será Zero.
Proceso 2:
Sabemos que,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + n ^ 5)
= \ frac {[n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12}
Entonces, para (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
La respuesta será,
161708332500
Entonces, el último dígito es cero .
PD: Sabemos que 1 ^ a + 2 ^ a + 3 ^ a + …… .. + n ^ a se escribe matemáticamente como \ Sigma n ^ a. La fórmula general para la suma de potencia se conoce como fórmula de Faulhaber (también conocida como fórmula de Bernoulli):
\ sum\_ { k = 1} ^ nk ^ {p} = \ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ frac {1} {2} n ^ p + \ sum\_ {k = 2} ^ p \ frac {B\_ {k}} {k!} P ^ \ underline {k-1} n ^ {p-k + 1}
donde, \ textbf {p} ^ \ underline {k-1} = \ dfrac {p!} {(p-k + 1)!} se llama factorial descendente y B\_ {k} son los números de Bernoulli.
Usando esa fórmula podemos deducir cualquier fórmula específica para potencia suma, como se indica a continuación:
- \ Sigma n ^ 0 = n
- \ Sigma n ^ 1 = \ frac {n (n + 1)} {2 } = \ frac {1} {2} (n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} = \ frac {1} {6} (2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 3 = [\ frac {n (n + 1)} {2}] ^ 2 = \ frac {1} {4} (n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 4 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} = \ frac {1} {30} (6n ^ 5 + 15n ^ 4 + 10n ^ 3-n)
- \ Sigma n ^ 5 = \ frac { [n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12} = \ frac {1} {12} (2n ^ 6 + 6n ^ 5 + 5n ^ 4-n ^ 2 )
- \ Sigma n ^ 6 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 4 + 6n ^ 3-3n + 1)} {42} = \ frac {1 } {42} (6n ^ 7 + 21n ^ 6 + 21n ^ 5-7n ^ 3 + n)
- \ Sigma n ^ 7 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (3n ^ 4 + 6n ^ 3-n ^ 2-4n + 2)} {24} = \ frac {1} {24} (3n ^ 8 + 12n ^ 7 + 14n ^ 6-7n ^ 4 + 2n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 8 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} = \ frac {1} {90} (10n ^ 9 + 45n ^ 8 + 60n ^ 7-42n ^ 5 + 20n ^ 3-3n)
- \ Sigma n ^ 9 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (n ^ 2 + n -1) (2n ^ 4 + 4n ^ 3-n ^ 2-3n + 3)} {20} = \ frac {1} {20} (2n ^ {10} + 10n ^ 9 + 15n ^ 8-14n ^ 6 + 10n ^ 4-3n ^ 2)
- \ Sigma n ^ {10} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (n ^ 2 + n-1) (3n ^ 6 + 9n ^ 5 + 2n ^ 4-11n ^ 3 + 3n ^ 2 + 10n-5)} {66} = \ frac {1} {66} (6n ^ {11} + 33n ^ {10} + 55n ^ 9-66n ^ 7 + 66n ^ 5-33n ^ 3 + 5n)
Gracias por leer mi respuesta. Espero que esto ayude.