Mejor respuesta
Si trato de conectar esto en mi calculadora, obtendré algo en notación científica, porque la respuesta es demasiado grande para mostrarla en la calculadora. En términos prácticos, la calculadora me mostrará el comienzo del número y solo me importa el final del número.
200! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × ………… × 192 × 193 × 194 × 195 × 196 × 197 × 198 × 199 × 200
Sé que un número obtiene un cero al final si el número tiene 10 como factor. Por ejemplo, 10 es un factor de 50, 120 y 1234567890. ¡Entonces necesito averiguar cómo cualquier multiplicado por 10 es un factor en la expansión de 200 !.
Pero desde 5 × 2 = 10, necesito dar cuenta de todos los productos de 5 y 2. Si observamos los factores de la expansión anterior, hay muchos más números que son múltiplos de
2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 194, 196, 198, 200)
que son múltiplos de
5 (5, 10, 15, …, 185, 190, 195, 200).
Es decir, si tomo todos los números con 5 como factor, tendré números pares más que suficientes para emparejarlos y obtener factores de 10 (y otro cero final en mi factorial). Entonces, para encontrar el número de veces 10 es un factor, de lo único que debo preocuparme es de cuántas veces 5 es un factor en todos los números entre 1 y 200.
Bien, ¿cuántos múltiplos de 5 ¿hay en los números del 1 al 200? Hay 5, 10, 15, 20, 25, …
Oh, diablos; hagamos esto de la manera más corta: 200 ÷ 5 = 40 , entonces hay cuarenta múltiplos de 5 entre 1 y 200.
Entonces, su respuesta será 40 .
Pero espera: 25 es 5 × 5, por lo que cada múltiplo de 25 tiene un factor adicional de 5 que debo tener en cuenta. ¿Cuántos múltiplos de 25 hay entre 1 y 200?
Dado que 200 ÷ 25 = 8 , hay ocho múltiplos de 25 entre 1 y 200.
Y espera un minuto, también hay 125 que es 5x5x5. Así que tenemos que sumar 1 al número de ceros.
Así que ahora el número total de ceros es = 40 + 8 + 1, significa 49.
¡Entonces en 200! hay 49 ceros finales. Y no lo verifique con la calculadora, ya que la calculadora no puede hacerlo.
Respuesta
Los ceros finales son una secuencia de 0 «en la representación decimal de un número, después que no siguen otros dígitos. Se puede resolver de dos maneras:
- Veamos cómo se forman los ceros finales en primer lugar. Un cero final se forma cuando un múltiplo de 5 se multiplica por un múltiplo de 2. Ahora todo lo que tenemos que hacer es contar el número de 5 y 2 en la multiplicación.
Cada par de 2 y 5 producirá un cero final. Dado que solo tenemos 24 pares de 5, solo podemos hacer 24 pares de 2 y 5, por lo que el número de ceros finales en 100 factorial es 24 .
2. La pregunta también se puede responder utilizando la fórmula simple que se proporciona a continuación:
La fórmula anterior nos da el número exacto de 5 en n! porque se ocupará de todos los múltiplos de 5 w que son menores que n. No solo se ocupará de todos los múltiplos de 25, 125, etc. (potencias superiores de 5).
Consejo: En lugar de dividir por 25, 125, etc. (potencias superiores de 5); sería mucho más rápido si dividiera entre 5 de forma recursiva.
Usemos esto para resolver algunos ejemplos:
Q) ¿Cuál es el número de ceros finales en 100? ?
[100/5] = 20
Ahora podemos dividir 100 entre 25 o el resultado del paso anterior, es decir, 20 entre 5.
[ 20/5] = 4. Es menor que 5, así que nos detenemos aquí.
La respuesta es – 20+ 4 = 24 (respuesta directa en solo unos segundos)
Q) ¿Cuál es el número de ceros finales en 200? ?
[200/5] = 40
Ahora podemos dividir 200 entre 25 o el resultado del paso anterior, es decir, 40 entre 5.
[ 40/5] = 8
[8/5] = 1. Es menos de 5, así que nos detenemos aquí.
La respuesta es – 40 + 8 + 1 = 49
Q) ¿Cuál es el número de ceros finales en 1123?
[1123/5] = 224
[224/5] = 44
[44/5] = 8
[8/5] = 1. Es menos de 5, así que nos detenemos aquí.
La respuesta es – 224 + 44 + 8 + 1 = 277
Si tiene alguna pregunta, no dude en preguntar en la sección de comentarios.