Mejor respuesta
Podemos representar cualquier entero positivo n en la notación de base diez como n = a\_k10 ^ k + a\_ {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, donde a\_i \ in \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} y a\_k \ neq 0. Entonces n \ geq 10 ^ k. La suma de los dígitos es a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Esta desigualdad se sigue de a\_i \ leq 9. Ahora es fácil ver que si k \ geq 2 entonces 18 (k + 1) 0 ^ k. Ahora nos quedamos con los elementos n = 10a\_1 + a\_0. Estos se pueden verificar fácilmente con una computadora. Así es como lo hice con Python
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Por lo tanto, el único entero positivo que es el doble de la suma de sus dígitos es 18. Si permitimos números enteros no negativos, entonces también tenemos 0. No estoy muy seguro de cómo se debe interpretar esta pregunta para números enteros negativos.
Respuesta
El número N es el producto de los primeros 100 números enteros positivos. Si todos los dígitos de N estuvieran escritos, ¿qué dígito estaría al lado de todos los ceros al final?
Básicamente, ¡estamos buscando 100! y luego queremos descartar todos los ceros al final, entonces queremos saber cuál es el primer dígito distinto de cero en el extremo derecho.
¡Una forma es calcular 100! usando un programa como bc (calculadora de banco en Linux o Unix) y luego descarte todos los ceros para llegar al dígito requerido.
Veamos otra forma de resolver el problema usando el principio de dividir y conquistar.
Descartemos todos los números que terminan con 1 i. mi. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 porque al multiplicar, el último dígito del múltiplo anterior (producto al que llegó hasta ese punto) no va a cambiar y no nos interesa calculando 100! sin ceros de todos modos.
Veamos los primeros 9 números que comienzan en 2 y son:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
De izquierda a derecha, 2 * 3 te da 6, 6 * 4 te da 24, solo retén 4 y multiplícalo por 5 para darte 20 (ya que queremos descartar cero), ahora retén 2 y multiplícalo por 6 para darte 12, nuevamente retén solo 2 y multiplícalo por 7 para darte 4 (de 14) y multiplícalo por 8 para darte 2 (descartando 3 de 32) y multiplícalo por 9 para darte 8 ( descartando 1 de 18) y multiplicándolo por 10 te da 8 (descartando 0 u 80). Por lo tanto, obtiene un solo dígito, que es 8 .
Trabajando de manera similar en 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 le da 8 de nuevo.
La siguiente serie 22, 23…, 28, 29, 30 le da 2.
La siguiente serie le da 4
Continuando de manera similar en la serie restante, obtendría 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 y 2 respectivamente.
Ahora, el final El trabajo es multiplicar los dígitos como arriba a los que hemos llegado para cada una de las series.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 y al multiplicar estos dígitos y descarte el décimo dígito en el camino, llegamos a 4 como último dígito.
Este es el La respuesta final de la pregunta, 4 es el dígito requerido.