Mejor respuesta
1. Raíces de números.
En la escuela primaria se nos informó que la raíz cuadrada de un número es de hecho una pregunta. El número multiplicado por sí mismo, tantas veces para obtener un número, es la raíz. P.ej. raíz cuadrada de 9 = 3, ya que 3 × 3 = 9 cuarta raíz de 16 = 2, ya que 2 × 2 × 2 × 2 = 16 y así sucesivamente. Sin embargo, la naturaleza de las raíces es más fundamental, ya que su aplicación expandió el sistema numérico de lo racional a lo real. En otras palabras, para usar la operación de encontrar raíces fue necesario expandir el sistema numérico para que se cierre bajo el operación de «enraizamiento» introduciendo los números irracionales. Los números racionales se cierran para +, -, ×, ÷ pero no para√. Por ejemplo, √2 no se puede expresar como una razón. Los pitagóricos sabían esto y se suponía que habían intentado Suprimirlo, ya que no cuadraba, ja, ja, con su visión del mundo.
2. Raíces de ecuaciones
La naturaleza de lo que nos dijeron fue cuando la curva corta el eje x. Esto podría ocurrir una, dos, tres veces dependiendo del polinomio. Se diseñaron reglas para calcularlas que todos aprendimos. Luego se hizo la pregunta. ¿Qué pasa si la curva no corta el eje x? Entonces obviamente tenemos una raíz imaginaria y esto ocurrió cuando b ^ 2-4ac . Esto requirió que otra extensión del sistema numérico fuera necesario. Entonces se inventó el sistema de números complejos, para incluir raíces de números negativos. Entonces, la naturaleza de las «raíces» ha sido expandir el sistema numérico más allá de los números racionales.
Respuesta
Imagino que te refieres a «natural» en el sentido de «isomorfismo natural». Si algo es «natural» o «canónico», significa, aproximadamente, que no es el resultado de una elección arbitraria. Está determinado por su contexto, naturalmente.
Uno de los ejemplos motivadores de algo “natural” es el isomorfismo entre un espacio vectorial de dimensión finita V y su doble dual V ^ {\ vee \ vee}. El isomorfismo lleva v \ en V a E\_v \ en V ^ {\ vee \ vee}, donde E\_v (\ phi) = \ phi (v) para \ phi \ in V ^ \ vee. Envía el vector v al mapa E\_v que evalúa los vectores duales en v. Esto es natural; no se tomaron decisiones arbitrarias, simplemente salió directamente de las definiciones y relaciones de los objetos involucrados.
Hay otro isomorfismo entre estos dos espacios, por supuesto, pero esta es «la elección correcta». Cualquier otra elección sería antinatural; por ejemplo, podría enviar v a E\_ {A (v)}, donde A: V \ a V es algún automorfismo lineal arbitrario de V. Pero… ¿por qué? No hay ninguna razón por la que tenga que presentar A, ya que tiene la opción natural v \ mapsto E\_v justo frente a usted. Es de esperar que la diferencia entre el isomorfismo «natural» y «no natural» sea lo suficientemente clara.
Por otro lado, no existe un isomorfismo natural L: V \ a V ^ \ vee. La construcción de un isomorfismo requiere elecciones arbitrarias. Podría elegir una base b\_1, \ dots, b\_n y declarar que L (b\_i) es el vector dual que lleva b\_i a 1 y todos los demás vectores base a 0. Esto define un isomorfismo perfectamente fino, pero podría hacer exactamente lo mismo cosa con cualquier otra base y obtener un isomorfismo diferente, igualmente válido. No hay forma de elegir uno de una manera natural, dada por Dios *.
Esta es una descripción muy aproximada e informal. Puede (y lo es) precisar mediante la teoría de categorías: los functores y las transformaciones naturales proporcionan la forma correcta de pensar sobre lo que hace que algo sea «natural» en algún contexto. He hecho todo lo posible para transmitir mi propia intuición sobre el concepto, que creo que sería suficiente hasta que uno esté listo para los detalles sangrientos.
* a pesar de la teología / ontología de las matemáticas