La mejor respuesta
Estoy de acuerdo con Jack Huizenga. Comencé a revisar los textos de Spivak después de haber obtenido una base decente en el área, incluida alguna experiencia con la relatividad general. Asumí el esfuerzo porque se veían completos y asumí que eran buenos según su texto de cálculo. Ambos las cosas resultaron ser ciertas, pero todavía no creo que sean la mejor opción de introducción.
El material del volumen uno probablemente sea apropiado para el autoestudio, ya que cubre gran parte de los conceptos básicos sobre variedades, el paquete tangente, tensores, formas diferenciales, integración, métricas de Riemann, grupos de Lie y un poco de topología algebraica. Pero, siguiendo ese volumen 2 se vuelve histórico y cubre mucha geometría más clásica, lo que significa que gran parte del material cubierto a los geómetras y estudiantes modernos les importa poco. Además, debido a que el texto colectivo es tan largo, es mucho más completo que el libro de texto típico o un curso de posgrado. Es cierto que los volúmenes 3 a 5 con los que tengo menos experiencia, pero los hacía referencia de vez en cuando. Gran parte del material de estos volúmenes va más allá de lo que necesito en mi trabajo, y esto probablemente sea cierto para la mayoría de los físicos y matemáticos. El volumen 4 en particular se ajusta a esta descripción. Además, debido a que este texto es tan completo, algunos resultados muy importantes y conocidos se dejan para secciones posteriores, mientras que los textos y notas modernos los cubrirían mucho antes (por ejemplo, el teorema de Gauss-Bonnet no se cubre hasta el volumen 3).
Creo que es un gran libro de referencia, no me malinterpretes, pero existen mejores libros de texto. Es algo parecido a SGA y EGA en el sentido de que es muy difícil pasar solo y probablemente innecesario cuando hay libros de texto más abreviados y accesibles (por ejemplo, Hartshorne «s Geometría algebraica o notas de Vakil). Si todavía está interesado, los textos son bastante baratos (alrededor de $ 40 cada uno) y están disponibles en Amazon. En esta página ( Geometría: una introducción completa a la serie de geometría diferencial de Spivak ) hay una lista de la tabla de contenido.
En cuanto a un libro de texto recomendado, escuché cosas buenas sobre Banchoff y Lovett (también es bastante barato), pero aún tengo que ir a través del material. John Lee tiene un conjunto clásico de textos sobre el tema. Kreyszig está un poco desactualizado y la impresión de Dover puede no ser la mejor, pero es otra opción barata. Shaum tiene un texto general sobre el tema que podría servir como un buen complemento, basado en lo que sé de la serie en general. De lo contrario, creo que las notas de clase son el camino a seguir. Realmente me gustan las siguientes notas de UCLA Página en ucla.edu .
Quizás tener a Spivak como referencia (en particular los dos primeros volúmenes, que se pueden encontrar en línea), Schaum como una descripción general suave y algo como Banchoff o Lee como texto principal, con las notas de UCLA como secundario es una buena idea .
Editar: Casi lo olvido, Lang también tiene un buen texto ( Introducción a colectores diferenciables ), aunque probablemente requiera algunos antecedentes. Los textos en idioma siempre son buenos.
Respuesta
Sí, es adecuado para el autoaprendizaje. No se deje intimidar por el tamaño de los cinco vol ume set. El primer volumen se ocupa de la teoría múltiple y temas variados como las secuencias de Mayer-Vietoris y la existencia y unicidad de las soluciones a las EDO. Podría ser una idea no comenzar con este volumen sino pasar directamente al segundo, que cubre la geometría de las curvas y la geometría intrínseca de las superficies, en un contexto histórico. Se presentan los artículos originales de Gauss y Riemann, junto con la exégesis de Spivak. Los volúmenes 3-5 cubren la geometría extrínseca.
Si desea una introducción de un volumen a la geometría diferencial (o riemanniana), con muchas opciones: hay una gran cantidad de libros. Para la geometría diferencial elemental, me gusta la «Geometría diferencial elemental» de Pressley, aunque hay otros libros comparables.