Mejor respuesta
¡Ah! Esta es una buena observación, y lo que nos enseña es que los sistemas numéricos de valor posicional permiten que algunos números tengan múltiples representaciones con diferentes dígitos.
Le sugiero que intente encontrar la diferencia entre las dos expresiones numéricas ( es decir, mostrar que hay un número entre ellos).
Realmente no puede hacerlo de la manera habitual, porque no hay los últimos 9 dígitos para comenzar a hacer la resta del dígito menos significativo , ¿esta ahí? Eso es porque duran para siempre.
Sin embargo, en esencia, puede comenzar desde el dígito más significativo y seguir «prestándolo» a la derecha, en lugar de «tomar prestado» desde la izquierda.
Entonces, si miramos los primeros dígitos, tenemos
\ begin {align *} & 1.00000 \ dots \\ & 0.99999 \ dots \ end {align *}
«Prestar» a la derecha significa tomar la parte de las unidades del número superior como diez décimos (¡que es!). Restar nueve décimos deja una décima. Pero luego podemos «prestar» eso a la derecha como diez centésimas, y restar nueve centésimas de eso, y continuar indefinidamente.
Y esto continúa indefinidamente. No hay lugar donde el proceso se detenga y deje un dígito, porque (en cierto sentido) para completar este proceso (infinito) dejaría atrás solo ceros a medida que avanza «hasta el final» hacia la derecha.
Hay otras formas, más rigurosas y elegantes, de demostrar que 0. \ dot {9} = 1.
Otra forma de pensarlo es deshacerse de la carga que es el decimal b ase sistema (base diez) y cuenta en ternario (base tres). Ternario es el sistema en el que contamos 0, \, 1, \, 2, \, 10, \, 11, \, 12, \, 100, \, \ puntos. Los números en ternario no tienen puntos decimales sino puntos ternarios. En ternario tenemos \ frac {1} {3} = 0.1 y \ frac {2} {3} = 0.2.
Pero luego la fracción \ frac {1} {2} = 0. \ ¡el punto {1} no termina! Sin mencionar que, en ternario, el 0. \ dot {2} no repetitivo = 1, porque eso es exactamente el doble de la expresión anterior (si intercambias los lados derecho e izquierdo de la igualdad, debe ser así).
Esto es lo grandioso y poderoso de la igualdad. Como sabemos que en base diez \ frac {1} {3} = 0. \ dot {3}, entonces \ frac {3} {3} = 1 = 0. \ dot {9}, lo que demuestra que el mismo número puede tienen múltiples representaciones en el mismo sistema numérico de valor posicional.
La moraleja de la historia es evitar quedar atrapado en lo que llamamos cosas, pero centrarse en lo que son y lo que hacen .
Respuesta
Sí, uno dividido por tres es posible en los campos de números reales o racionales, y es igual a un tercio.
Es no posible representar un tercio usando una notación posicional decimal finita. Si desea utilizar una representación infinita , como la que implican los puntos en 0.333 \ dotsc, es mejor que tenga alguna forma formal de decir lo que significa. Los matemáticos tienen una especificación tan formal, llamada límites, en la que 0,999 \ dotsc = 1.
Tenga en cuenta que la representación decimal de un número no es el número en sí. Al igual que usted no es su nombre, ni su apodo, ni ninguna de sus muchas identificaciones. Los números tienen muchas de representaciones, incluidas muchas bases, palabras, expresiones, etc. Las representaciones de un tercio incluyen:
- 0.333 \ dotsc (decimal)
- 0.1\_3 (ternario)
- \ frac13
- 20 «(minutos – un tercio de una hora)
- 120 ° (grados – un tercio de un círculo)
- \ frac26
y así sucesivamente.
El número real, un tercio en sí mismo, permanece al margen de todas estas representaciones. Está definido por su propiedad de ser uno dividido por tres. En otras palabras, es ese número el que da uno cuando se multiplica por tres. Todo lo demás es sólo una notación provisional que, como ha notado, es un poco torpe en decimal.