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¿Un círculo es una función o no? ¿Por qué?
Para ser precisos, si usa coordenadas cartesianas, entonces no hay una función explícita de x con rango siendo el valor de y cuyos puntos se encuentran en un círculo completo. La razón de esto es que para casi cualquier valor de x dentro del círculo hay dos valores de y correspondientes a los semicírculos superior e inferior, mientras que una función explícita debe tener un valor único para cada valor de x. Entonces, lo mejor que podemos hacer es usar dos funciones de x, una para cada uno de estos semicírculos. Por ejemplo, para un círculo de radio \ text {R} centrado en el origen:
\ qquad y = \ pm \ sqrt {\ text {R} ^ 2-x ^ 2}
Aquí, elegir a + da una función cuyos puntos se encuentran en el semicírculo superior, y elegir a – da una función con puntos en el semicírculo inferior.
Pero ciertamente podemos usar un función implícita que relaciona las dos coordenadas, por ejemplo:
\ qquad x ^ 2 + y ^ 2 = \ text {R} ^ 2
También hay otras formas de construir funciones explícitas para un círculo usando diferentes dominios y rangos para la función. La siguiente, por ejemplo, es una función explícita que define un círculo en coordenadas cartesianas:
\ qquad f (t) = (\ text {R} \ cos (t), \ text {R} \ sin (t))
Aquí el dominio es el conjunto de números reales \ R como de costumbre, pero en este caso el rango de la función es el conjunto de puntos en el plano xy, recordando que podemos tener cualquier conjuntos que nos gustan para el dominio y rango de una función. En este caso, sin embargo, tenga en cuenta que son los valores de la función los que se encuentran en el círculo, y el argumento t es una variable independiente.
Y, por supuesto, no es necesario que nos quedemos con las coordenadas cartesianas. Si en su lugar usamos coordenadas polares para el plano, entonces podemos tener una función explícita muy simple para un círculo, por ejemplo:
\ qquad r (\ theta) = \ text {R}
En la práctica, todas las funciones anteriores, explícitas e implícitas, se usan comúnmente en matemáticas cuando se trata de círculos.
Respuesta
Un círculo es un conjunto de puntos en el plano. Una función es una asignación de un conjunto a otro, por lo que son clases de cosas completamente diferentes, y un círculo no puede ser una función.
Lo que supuestamente querías preguntar es si el círculo es el gráfico de alguna función. La gráfica de una función, f, es el conjunto de pares, (x, f (x)) para todo x en el dominio, que se puede interpretar como puntos en un plano.
Entonces, la pregunta es si hay una función cuya gráfica es el círculo.
La respuesta es no, porque cada valor en el dominio está asociado con exactamente un punto en el codominio, pero una línea que pasa por el círculo generalmente interseca el círculo en dos puntos.
Este tipo de cosas es inconveniente, porque los círculos son muy importantes en geometría. A veces, los puntos de un círculo se describen mediante una relación , dada por (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2, donde (a, b) es el centro y r es el radio. Debido a los cuadrados, puede haber dos diferentes valores de y que hacen que la relación sea verdadera para varios valores de x, por lo que el gráfico de relación es un círculo.