Mejor respuesta
Realmente no existe una definición general de espacio en matemáticas. Casi cualquier objeto que podamos imaginar visualmente puede llamarse espacio. Los espacios métricos, las variedades, los espacios de Hilbert, los orbifolds, los esquemas, los espacios de medida, los espacios de probabilidad y las pilas de módulos son cosas que llamamos espacios.
Lo más parecido a una definición general de espacio es la probabilidad, la noción de un espacio topológico. Por ejemplo, los espacios métricos, los colectores, los espacios de Hilbert, los orbifolds y los esquemas son todos espacios topológicos con un poco más de estructura.
Un espacio topológico consta de un conjunto de puntos, X, y una colección de subconjuntos de X que llamamos «abierto», sujeto a las condiciones que
- El conjunto vacío y la propia X están abiertos,
- Cualquier unión de conjuntos abiertos está abierta,
- Y la intersección de un par de conjuntos abiertos está abierta.
Se supone que los conjuntos abiertos son como los subconjuntos abiertos de \ mathbb {R}. A riesgo de ser vagos, pensamos en los conjuntos abiertos como esos subconjuntos U de X, de modo que cada punto de U puede moverse un poco sin dejar U. Este es literalmente el caso de \ mathbb {R}, ya que conjuntos abiertos se definen como los subconjuntos U de modo que para todo x \ en U hay un \ epsilon> 0 de modo que (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ subset U (es decir, moviendo x menos que \ epsilon no dará como resultado un punto fuera de U).
Resulta que esta cantidad mínima de información – un conjunto de puntos y una colección de subconjuntos abiertos – es suficiente para saber si las funciones son continuas. Esto hace que los espacios topológicos sean realmente útiles.
Por otro lado, no todo espacio en matemáticas es un espacio topológico, o incluso, como han respondido otros, un conjunto de puntos con alguna estructura extra. Esto fue algo que me sorprendió aprender hace unos semestres.
El contraejemplo que tengo en mente es la idea de una pila de módulos, que (¡esto se vuelve extraño!) Es un tipo particular de functor F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, donde la preimagen de cada objeto D de \ mathcal {D} se considera la colección de funciones continuas desde D hasta el espacio que se supone que representa F.
¿Cómo diablos es este un espacio? Para tener algo de intuición, considere el conjunto de funciones continuas de un espacio que consta de un solo punto en un espacio topológico, X. Para cada punto p \ en X, obtenemos una función que toma el punto único ap. En este sentido, el conjunto de funciones continuas desde un punto hasta X describe los puntos de X. Si consideramos funciones de algo más elegante, digamos un segmento de recta, en X comenzamos a tener una idea de cómo se relacionan los puntos de X con entre sí: cuáles pueden estar conectados entre sí por un camino, cuáles están cerca y cuáles están lejos entre sí, y así sucesivamente. Al considerar todos los conjuntos posibles de funciones en X, en realidad podemos deducir exactamente qué es X. Esta es una idea que se conoce con el nombre de Yoneda Lemma . La idea de una pila de módulos es usar esto como una metáfora: cualquier functor que «parezca» que describe funciones en un espacio topológico puede usarse para definir un «espacio».
Lo que quiero enfatizar es esto: hay muchos tipos de espacios en matemáticas, pero si quieres tener una idea fundamental de lo que es un espacio, debes estudiar los espacios topológicos. Dicho esto, ¡las cosas se ponen raras!
Respuesta
El espacio en sí mismo no tiene mucha definición formal. Es casi una versión matemática de la palabra «cosa». Quizás un sinónimo más cercano es «conjunto», pero la palabra «espacio» connota que hay algún ingrediente extra … alguna estructura … que también está en juego. De lo contrario, simplemente usarían la palabra «set».
Varios tipos de espacios tienen definiciones. Un espacio vectorial es un conjunto de vectores que sigue algunas reglas. Un espacio topológico es un conjunto junto con una colección especial de subconjuntos que cumplen algunas reglas. Un espacio métrico es un conjunto junto con una fórmula adecuada que indica la distancia entre los puntos del conjunto. A menudo, los tipos especiales de espacios tienen nombres descriptivos como estos.
Otros tipos de espacios tienen nombres de personas que los estudiaron. Espacios de Banach, espacios de Hilbert, espacios de Sobolev … todos estos son tipos especiales de espacios vectoriales con un poco de estructura extra eso los hace interesantes a su manera y llevan el nombre de personas que fueron importantes en el desarrollo de esa historia.