Mejor respuesta
¿Por qué es 2 elevado ¿potencia de 25, no un número cuadrado?
Primero asegurémonos de saber qué es un número cuadrado. Un número cuadrado es el producto de un número entero positivo multiplicado por sí mismo.
4 es un número cuadrado porque 4 = 2 \ times2. 9 es un número cuadrado porque 9 = 3 \ times3. 25 es un número cuadrado porque 25 = 5 \ times5.
Veamos las potencias de 2 y veamos cuáles son números cuadrados y cuáles no:
2 ^ {2 } = 2 \ times2 = 4 ==> número cuadrado 2 ^ {3} = 2 \ times2 \ times2 = 8 ==> no es un número cuadrado 2 ^ {4} = 2 \ times2 \ times2 \ times2 = 16 = 4 \ times4 ==> número cuadrado 2 ^ {5} = 2 \ times2 \ times2 \ times2 \ times2 = 32 ==> no es un número cuadrado 2 ^ {6} = 2 \ times2 \ times2 \ times2 \ times2 \ times2 = 64 = 8 \ times8 ==> número cuadrado
Aquí empieza a surgir un patrón: cuando el exponente es par, el resultado será un número cuadrado. Esto se debe a que podemos dividirlo en dos partes iguales: x ^ {\ frac {y} {2}} \ times x ^ {\ frac {y} {2}} = x ^ {y}.
25 es un número impar, por lo tanto 2 ^ {25} no puede ser un número cuadrado.
Respuesta
Porque 25 es impar y 2 no es un número cuadrado.
General:
a ^ {2k} es un número cuadrado y su raíz es a ^ k.
La raíz de a ^ {2k + 1} es a ^ k \ cdot \ sqrt {a} y, por lo tanto, un número debe ser cuadrado o todo es irracional.
Tenga en cuenta que para los números positivos tiene la regla:
\ left ( a ^ b \ right) ^ c = a ^ {bc}
Es por eso que 9 ^ {25} es un cuadrado, es lo mismo que 3 ^ {50} y tiene una raíz de 3 ^ { 25}.