Mejor respuesta
3n + 3n + 1 + 3n + 2 = 9n + 3 = 3 (n + 1)
3m + 1 + 3m + 2 + 3m + 3 = 9m + 6 = 3 (m + 2)
3k + 2 + 3k + 3 + 3k + 4 = 9k + 9 = 9 (k + 1)
Básicamente, obtienes 3 números que son exactamente:
1 de 0mod3, 1 de 1mod3 y 1 de 2mod3
( pero sin ningún orden en particular)
Y 3 divide el resto generado aquí
si tiene n enteros consecutivos, entonces tiene todos los casos restantes para n (0 a n-1) asignados EXACTAMENTE una vez (y, por tanto, de forma única entre cada entero consecutivo) y esta propiedad es universal para todos los números naturales n,
pero sucede que 3 divide 0 + 1 + 2, que es la suma de los casos restantes. Verá que 4 no divide 0 + 1 + 2 + 3 = 6 pero 5 divide 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 pero 6 no divide 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15… Así que esta parte claramente no es universal en todos los n.
Este truco funciona para 3 (como 5) ya que x | Σr con r abarcando 1 ax-1 para x = 3 (también x = 5), ve a la parte superior de esta respuesta para ver por qué solo importan los restos y no cuántas veces los números son divisibles por 3 😃.
Pero la prueba más corta a la que no le importa «por qué llegamos tanto como llegamos ”sería:
x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3 = 3 (x + 1)
Respuesta
¿Por qué la suma de tres enteros consecutivos es siempre un múltiplo de 3? ¿Cómo se prueba esto usando expresiones algebraicas?
Sea k \ text {,} \ text {} k + 1 \ space \ text {y} \ text {} k + 2 donde k también es un número entero.
Súmelos: k + k + 1 + k + 2 = 3k + 3 = 3 (k + 1) \ text {.}
\ por lo tanto \ text {} esta suma es un múltiplo de 3 \ text {.}