Mejor respuesta
Por definición, hay 360 grados en una rotación completa; por lo tanto, 45 grados es la mitad de la mitad de la mitad de una rotación completa, es decir, 1/8 de una rotación completa.
Tome un cuadrado y dibuje líneas desde el centro a las esquinas y al puntos medios de cada lado. Esto pone ocho ángulos iguales alrededor del centro; por lo tanto, esos ángulos son todos de 45 grados.
También podemos ver que obtenemos triángulos rectángulos para cada uno de estos, donde en cada caso ambos lados de estos triángulos rectángulos son iguales (la mitad del tamaño de un lado de la plaza). Por lo tanto, la tangente (en el sentido de lado opuesto / lado adyacente) de 45 grados es 1.
Respuesta
“ ¿Qué es tan (45)? ”
Si x es un número racional distinto de cero, entonces tan x es irracional (probado por Lambert, 1761). No sé si se ha desarrollado alguna prueba que tan x debe ser trascendental, aunque ha habido una prueba para el seno y el coseno).
Ahora, 45 es un número racional distinto de cero, por lo que tan 45 debe ser irracional.
La forma más simple de expresión exacta para este valor es tan 45. No puede expresarlo de manera más simple y hacer que la expresión represente exactamente 45.
Si está interesado en una aproximación numérica para tener una buena idea de la magnitud y el signo del número, have: tan 45 = 1.619 775 190 543 861 549 982 796 517….
Para aquellos que afirman erróneamente en sus respuestas que tan 45 = 1, han violado el teorema al que me referí al principio. Ha violado el teorema al hacer tal declaración, y debido a que los teoremas requieren una prueba de su corrección, cualquier violación de un teorema significa que algo se ha hecho incorrectamente. En este caso, el error es asumir que tan 45 significa tan 45 °, si desea la tangente (de seno, coseno, cotangente, secante o cosecante de un ángulo que tiene un cierto número de grados y desea utilizar ese número, entonces es obligatorio que use el símbolo ° o multiplique ese número por π / 180. El argumento de la función tangente no necesita tener nada que ver con los ángulos; puede ser cualquier número real (excepto donde se generan singularidades tales como π / 2) con un significado arbitrario. Ahora bien, los ángulos corresponden de hecho a números reales; esto no es cierto para longitudes, duraciones de tiempo, etc., pero los ángulos tienen esta característica especial. Los ángulos son en realidad cantidades adimensionales, lo que significa que pueden expresarse simplemente como números. Ahora, existen diferentes nombres de unidades para ángulos porque a menudo es conveniente referirse fácilmente a diferentes tamaños de ángulos. Cada nombre de unidad angular (semicírculo, radianes, grado, minuto de arco, segundo de arco, etc.) corresponde a un número valor. Resulta que si tienes un círculo de radio de 3 my un arco de ese círculo con una longitud de 6 m, el ángulo subtendido es (6 m) / (3 m) = 2 (teniendo en cuenta que los metros en el numerador y el denominador se cancelan entre sí para producir solo un número ), pero 2 de qué. La definición de radianes es ese ángulo tal que la longitud del arco y el radio del círculo son iguales, 1 rad = (1 m) / (1 m) = 1. Por lo tanto, rad = 1/1 = 1. Como rad = 1, puede escribir 2 rad = 2 × 1 = 2, por lo que la escritura explícita de rad al expresar el valor de un ángulo es opcional. A veces es muy útil evitar la ambigüedad (como distinguir una frecuencia angular de 1 rad / s frente a una frecuencia cíclica de 1 [ciclo] / s = 1 Hz), e insistiremos en incluir el rad para una comunicación clara a pesar de que es nominalmente opcional; en otros casos, no hay ambigüedad y está bien dejar fuera el rad.
Ahora, 180 ° = π rad, dos expresiones diferentes que se refieren al ángulo de un arco semicircular. Si dividimos por los lados de la ecuación por 180, vemos: ° = (π / 180) rad = (π / 180) × 1 = π / 180, ya que rad = 1. En otras palabras, el grado también es justo un número, pero su valor no es 1; por lo tanto, no podemos escribir válidamente 45 ° = 45 y simplemente dejar caer el símbolo °. Debido a que ° representa el número π / 180, eso significa 45 ° = 45 (π / 180) = π / 4, lo que significa que cuando aplicas el significado de °, terminas con un número diferente, un número que corresponde al número de radianes, por lo que está convirtiendo implícitamente de grados a radianes. Si escribe solo 45, eso es igual a 45 × 1 = 45 rad, y no puede significar 45 °. Si no comprende los ángulos y sus valores numéricos de esta manera, no podríamos hacer cosas como la derivada de sin x con respecto a x es cos x ; la expresión tendría que ser más desordenada, indeseablemente más desordenada. Suceden demasiadas contradicciones y otras cosas raras si intenta actuar como si el grado de la unidad angular tuviera un valor numérico 1 para que pueda incluirlo libremente o evitarlo.
Desafortunadamente, los libros de texto de geometría más comúnmente utilizados en las escuelas secundarias actúan de forma perezosa y enseñan a los estudiantes a ser inapropiadamente perezosos, sin molestarse en escribir las unidades de medida cuando son títulos. Este error generalmente se corrige en libros de texto de álgebra o trigonometría más avanzados, donde ° siempre se escribe cuando se pretenden grados, y cuando se omiten las unidades, siempre se intentan radianes, lo que coincide con la práctica estándar de matemáticos y físicos profesionales. No sé por qué los libros de texto de geometría insisten en tomar un atajo inaceptable contrario a la práctica profesional estándar, porque los profesores y estudiantes se frustran en cursos posteriores al tener que enseñar y aprender, respectivamente, que el símbolo ° es necesario.