¿Por qué [math] \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA) [/ math] es verdadero?


Mejor respuesta

La definición de trazar como la suma de las entradas diagonales de una matriz es fácil de aprender y fácil de entender. Sin embargo, no tiene (a priori) ninguna interpretación geométrica agradable o de otro tipo — solo parece una herramienta de cálculo. Atacarlo desde esta perspectiva básicamente significa que estás atascado con pruebas computacionales de hechos como tr (AB) = tr (BA).

No son «t malos , per se. Son fáciles de entender, y ciertamente lo que debería mostrarse cuando alguien está aprendiendo inicialmente álgebra lineal. Hay una razón más profunda por la cual tr (AB) = tr (BA), pero es bastante abstracto y, en particular, requiere el producto tensorial para comprenderlo.

Considere el espacio de operadores lineales a partir de vectores el espacio V vuelve a sí mismo. Si elegimos un conjunto particular de coordenadas, dichos operadores se verán como matrices cuadradas. Sin embargo, intentaremos evitar las coordenadas tanto como sea posible.

Denotamos por V ^ * el espacio dual de V, que es el espacio de funcionales lineales en V — es decir, mapas lineales \ lambda tal que si conectamos un vector v, \ lambda (v) es un escalar.

Si luego tomamos el producto tensorial V ^ * \ otimes V, es isomorfo al espacio de los operadores lineales V \ rightarrow V. El isomorfismo funciona así: si w \ en V, entonces (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.

También podemos averiguar cómo funciona la composición bajo este isomorfismo: -recuerde que la composición de mapas lineales es lo mismo que multiplicar las matrices correspondientes.

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2

por lo tanto

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)

Ahora, ¿cómo funciona el rastro entrar? Bueno, hay un mapa natural de V ^ * \ otimes V al campo de escalares que funciona así: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Lo sorprendente es que, si trabajas todo en coordenadas, esta es la traza.

Esto muestra que la traza, lejos de ser una herramienta computacional abstracta, es en realidad un mapa fundamental y natural en álgebra lineal. . En particular, el análisis anterior proporciona automáticamente una prueba de que tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B).

Pero, ¿por qué la declaración más fuerte tr (AB) = tr ( BA) ¿verdad? Bueno, calculemos ambos.

tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ right) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)

Por otro lado:

tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)

Ah , entonces AB corresponde a emparejar \ lambda\_1, \ lambda\_2 y v\_1, v\_2 de una manera, y BA corresponde a emparejarlos de otra manera, pero una vez que tomamos la traza, se emparejan otra vez , y en ese momento deja de haber diferencia.

Hermoso.

Respuesta

La prueba de \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) es un cálculo sencillo:

\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =

= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).

No estoy seguro de si esto responde al «por qué» de la pregunta, en el sentido de «Sí, Veo que el cálculo funciona, pero ¿por qué ? «.

A menudo no es posible explicar «por qué» algo es cierto. Aquí, tal vez sea útil observar que AB y BA de hecho comparten mucho más que la traza: tienen el mismo polinomio característico .

Otra observación útil es que si A o B no son singulares (invertibles) entonces AB y BA son matrices similares, simplemente porque

AB = B ^ {- 1} (BA )SEGUNDO.

Matrices similares claramente tienen los mismos valores propios, por lo que, en particular, tienen la misma traza. Podemos argumentar por continuidad (sobre campos donde esto tenga sentido) para concluir que lo mismo se aplica incluso en el caso singular.

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