La mejor respuesta
Debido a las definiciones mismas de \ sin x, \ cos x y \ tan x.
En un triángulo rectángulo con ángulo agudo x, hemos definido las razones trigonométricas de la siguiente manera:
\ qquad \ sin x = \ dfrac {\ text {opuesto}} {\ text {hipotenusa} }
\ qquad \ cos x = \ dfrac {\ text {adyacente}} {\ text {hipotenusa}}
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {enfrente }} {\ text {adyacente}}
De aquí obtenemos el acrónimo SOH-CAH-TOA
De todos modos, si tomamos la expresión para \ tan x y dividimos numerador y denominador por \ text {hipotenusa} obtenemos:
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {opuesto} / \ text {hipotenusa}} {\ text {adyacente} / \ text {hipotenusa}} = \ boldsymbol {\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}}
Respuesta
Comencemos con una imagen (crédito: Triángulo rectángulo – de Wolfram MathWorld )
Nos centraremos en el de la izquierda, pero el los dos de la derecha son muy importantes en trigonometría.
Usaré la estafa idea de que el ángulo opuesto al lado a es \ alpha y el ángulo opuesto al lado b es \ beta.
Recuerde: \ sin {\ alpha} = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ cos {\ alpha} = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ tan {\ alpha} = \ frac {a} {b}
Ahora, dividamos seno por coseno:
\ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} = \ frac {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}} = \ frac {a} {b } = \ tan {\ alpha}. Podemos hacer lo mismo con \ beta. En general, podemos hacer este mismo truco con cualquier triángulo rectángulo, por lo que debe ser una propiedad intrínseca de las funciones trigonométricas. Sabemos qué son el seno y el coseno debido a cómo los definimos, como esas proporciones particulares.