Mejor respuesta
Lo explicaré con la ayuda de un ejemplo. La figura muestra un truss cargado y soportado como se muestra. Nuestro interés es conocer las reacciones y las fuerzas en todos los miembros de una armadura. Las reacciones y las fuerzas en los miembros dependen no solo de la magnitud y dirección de las fuerzas aplicadas, sino también de su ubicación, es decir, los puntos de aplicación. El diagrama espacial se ocupa del punto de aplicación de las fuerzas y la geometría de la cercha.
La figura que se muestra arriba es solo para obtener las reacciones. La fuerza aplicada P\_1 es ab y la fuerza P\_2 es bc en el diagrama vectorial. La reacción R\_1 es igual a da y la reacción R\_2 es igual a cd en el diagrama vectorial.
Podemos continuar con el diagrama espacial y el diagrama vectorial para calcular las fuerzas en todos los miembros. No se hace aquí solo para que la figura sea muy simple de entender.
La condición de equilibrio se cumple cuando el diagrama vectorial y el polígono funicular se cierran.
Respuesta
No está del todo claro qué significa «posiciones» aquí, pero creo que una respuesta podría ser que los vectores no tienen posiciones, pero los espacios vectoriales pueden tener posiciones, y estas dos ideas cubren las aplicaciones.
I m asumiendo aquí que la falta de «posicionalidad» en la pregunta se refiere al hecho de que «flechas» paralelas de la misma longitud y orientación representan el mismo vector. Existen numerosas razones para introducir esta convención.
- Una de las ideas fundamentales que subyacen al uso básico de vectores es el concepto de un desplazamiento , que también es la fuente de velocidad, aceleración y (a través de F = ma) fuerza. Los desplazamientos no tienen posición, más bien, existe un desplazamiento potencial de una dirección y magnitud determinadas en cada posición. Si decimos «dirígete diez millas al noroeste», esa es una instrucción de desplazamiento que se aplica a todas partes y no solo a una ubicación en particular.
- Los desplazamientos se pueden combinar, pero solo si el segundo desplazamiento comienza donde termina el primero . Si los desplazamientos están representados por flechas, entonces, para obtener el desplazamiento combinado, una de las flechas debe trasladarse para obtener una configuración de cola a cabeza para el desplazamiento combinado. Por supuesto, esto no tendría sentido si la flecha traducida no continuara representando el mismo desplazamiento.
- La experiencia con el comportamiento de las fuerzas requiere la capacidad de trasladar flechas de fuerza, ya que en términos de fuerzas los objetos se comportan como si toda su masa estuviera concentrada en su centro de gravedad y todas las fuerzas actuaran sobre ese punto. (¡He tenido cuidado con mi lenguaje en cursiva aquí, ya que sucede algo diferente cuando se introducen pares!)
La abstracción matemática que cubre todas estas situaciones es el espacio vectorial. Si necesitamos tener flechas que puedan ubicarse en cualquier lugar, entonces imponemos una relación de equivalencia en el conjunto de flechas, haciendo que dos flechas sean equivalentes si son paralelas y tienen la misma dirección. («Misma dirección» tiene un contenido intuitivo que es un poco complicado de hacer sistemático). Un vector se convierte en una clase de equivalencia de flechas, y la suma de vectores se define tomando representantes de clase «convenientes» y agregándolos mediante la ley de cola con cabeza o del paralelogramo.
El uso de clases de equivalencia y sus representantes no deberían parecer extraños en absoluto; es exactamente lo que hacemos con las fracciones. Una «fracción» puede considerarse una clase de equivalencia de símbolos a / b (b \ ne 0) bajo la relación de equivalencia a / b \ equiv (na) / (nb). Cuando queremos sumar dos «fracciones», enraizamos sobre sus respectivas clases de equivalencia hasta que encontramos dos representantes con el mismo denominador, y luego sumamos los numeradores. La suma de vectores es muy análoga a esto. Además, con las fracciones, hay un conjunto «preferido» de representantes de clase, las fracciones «en términos más bajos». Para los vectores, también hay una clase «preferida» de representantes, los vectores cuyas colas están en el origen, y estos son los que se consideran elementos abstractos de un espacio vectorial cuando la analogía de la flecha está en juego.
Ahora, hay situaciones en las que realmente importa dónde está la flecha, mover la flecha no tiene sentido y las flechas ubicadas en diferentes puntos no pueden ni deben agregarse. Un mapa meteorológico con flechas que representan la velocidad del viento en varios lugares es un ejemplo. Los pares mencionados anteriormente también son un ejemplo; la ubicación de una fuerza en relación con el centro de gravedad es importante, y la flecha de fuerza no se puede trasladar a otro punto sin alterar el par resultante. (Tenga en cuenta, por cierto, que los pares en sí son vectores que se pueden sumar.) Para un ejemplo matemático genérico, el campo de gradiente de un campo escalar consta de flechas que están fijadas a ubicaciones particulares y no se pueden traducir arbitrariamente.
Una observación elemental sobre estos vectores dependientes de la posición es que el vector habitual las leyes espaciales (suma y multiplicación escalar) continúan siendo válidas para todos los vectores en cualquier posición fija . Esto nos dice que la «solución» al enigma dependiente de la posición es colocar un espacio vectorial completo en cada punto del espacio en cuestión. Los espacios resultantes son normalmente llamado espacios tangentes , ya que el espacio tangente en un punto puede considerarse el conjunto de todos los vectores de velocidad para rutas parametrizadas a través de ese punto (asumiendo suficiente diferencia la descripción para que tenga sentido).
La colección de todos los espacios tangentes se llama tangente paquete, y ahora, si necesita tener un vector dependiente de la posición en cada punto de su espacio, necesita un mapa desde el espacio hasta el paquete tangente que selecciona exactamente un vector en cada espacio tangente en puntos distintos; dicho mapa se denomina sección del paquete, y la colección resultante de vectores dependientes de la posición se denomina campo vectorial en el espacio original.
De esta manera podemos tener nuestro pastel y comérnoslo también; los vectores no tienen «posiciones», pero los espacios vectoriales sí.