Mejor respuesta
Para ser precisos, no puede tomar la curva de un solo vector. Necesita un campo vectorial para tomar el rizo, algo como esto:
El rizo es un operador diferencial que toma un campo vectorial tridimensional y escupe otro campo vectorial tridimensional.
Para tener una idea de lo que significa el rizo, imagina que tenemos un campo vectorial que representa la velocidad de un fluido. Es decir, el fluido llena un espacio y el El «campo de velocidad» nos dice cuál es la velocidad del fluido en cada punto de ese espacio. Si tomamos la curva del campo de velocidad, obtenemos un nuevo campo vectorial que nos dice, en términos generales, cómo está rotando el fluido en cada punto en el espacio. Específicamente, la magnitud del vector de rizo te dice la fuerza de la rotación y la dirección te dice la dirección de rotación de acuerdo con la regla de la mano derecha .
En cartesi una coordenadas, el rizo se puede calcular como el producto cruzado del operador del y el campo original: \ mathrm {curl} (\ vec {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = ( \ frac {\ F\_z parcial} {\ y parcial} – \ frac {\ F\_y parcial} {\ z parcial}) \ hat {x} + (\ frac {\ F\_x parcial} {\ z parcial} – \ frac {\ F\_z parcial} {\ x parcial}) \ hat {y} + (\ frac {\ F\_y parcial} {\ x parcial} – \ frac {\ F\_x parcial} {\ y parcial}) \ hat {z}
Una de las principales razones por las que el rizo es importante es la descomposición de Helmholtz . Básicamente, todo lo que necesita para caracterizar completamente un campo vectorial es su divergencia y curvatura. Esto se utiliza con gran efecto, por ejemplo, en las ecuaciones de Maxwell, que al especificar el rizo y la divergencia de los campos eléctricos y magnéticos, le permiten resolver los campos:
Respuesta
Diferentes personas pueden encontrar útiles diferentes analogías / visualizaciones, pero aquí hay un posible conjunto de» significados físicos «.
Divergencia: Imagina un fluido, con el campo vectorial que representa la velocidad del fluido en cada punto del espacio. La divergencia mide el flujo neto de fluido fuera de (es decir, divergiendo desde) un punto dado. Si el fluido fluye en su lugar en ese punto, la divergencia será negativa.
Un punto o región con divergencia positiva a menudo se denomina» fuente «(de fluido o lo que sea el campo describe), mientras que un punto o región con divergencia negativa es un «sumidero».
Curl: Volvamos a nuestro fluido, con el campo vectorial que representa la velocidad del fluido. El rizo mide el grado en el que el fluido está rotando alrededor de un punto dado, siendo los remolinos y tornados ejemplos extremos.
Imagine un pequeño trozo de líquido, lo suficientemente pequeño como para que el rizo sea más o menos constante dentro de él. Tú también estás muy pequeño y te dicen que necesitas nadar una vuelta alrededor del perímetro de ese trozo de líquido. ¿Eliges nadar en sentido horario o antihorario? Si el rizo de la velocidad es cero, entonces no importa. Pero, si es distinto de cero, entonces en una dirección irás principalmente con la corriente, y en la otra dirección «iría principalmente contra la corriente, por lo que su elección de dirección importaría. El signo del rizo le dirá cuál es la elección correcta.
Gradiente: Si bien es perfectamente válido tomar el gradiente de un campo vectorial, el resultado es un tensor de rango 2 (como una matriz), por lo que es más difícil de explicar en términos intuitivos (aunque quizás alguien más lo maneje). Entonces, en cambio, hablaré sobre el gradiente de un campo escalar : específicamente, el campo que da la elevación del suelo sobre el nivel del mar en un punto dado. en la Tierra (especificado, digamos, en términos de latitud y longitud).
En esa situación, el gradiente es bastante simple: apunta «cuesta arriba» (en la dirección más empinada), y la magnitud indica verás lo empinado que es. Por ejemplo, si el gradiente apunta hacia el noreste con una magnitud de 0,2, entonces la dirección de la subida más empinada es el noreste y cada metro que recorras hacia el noreste dará como resultado una ganancia de elevación de 0,2 metros.
Para el gradiente de un campo vectorial, puede considerarlo como el gradiente de cada componente de ese campo vectorial individualmente, cada uno de los cuales es un escalar.