Mejor respuesta
\ frac {d} {dx} no es una «cosa». Debería pensar en ello como si fuera el nombre de una acción u operación, o una función que toma una entrada. [1]
Específicamente, si f (x) es una función, es posible que deseemos realizar la acción de diferenciación sobre esa función; una forma de escribir esa acción es \ frac {d} {dx} f (x). Esto significa que f (x) es la entrada a la operación de diferenciación-con-respecto-a-x.
Gramaticalmente, entonces, \ frac {d} {dx} no es «una oración completa» , o incluso un sustantivo autosuficiente. Es más como un verbo, que necesita un objeto directo. Ese objeto directo puede ser cualquier función de x – en particular, si y es una función de x, entonces \ frac {d} {dx} y tiene sentido escribir . En inglés, esta frase significa «el resultado de tomar la derivada-con-respecto-a-x de y». Por brevedad, generalmente escribimos esto como \ frac {dy} {dx}, pero hasta que se sienta cómodo con la notación \ frac {d} {dx}, le sugiero que siga escribiendo la entrada a la operación de diferenciación a la derecha, como lo he estado haciendo.
A su segunda pregunta: la regla de la cadena es el método de calcular una derivada de una composición de funciones.
[1] Sí, lo sé, las funciones también son cosas.
Respuesta
Sea f la función:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ right) donde x\_ {1} = x\_ {1} \ left (t \ right), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ left (t \ right)
Sea «s calcula \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Al diferenciar (1) obtenemos:
(2) df = \ frac {\ parcial f} {\ parcial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ parcial f } {\ parcial x\_ {n}} dx\_ {n}
Si dividimos ambos lados por dt el resultado es:
df = \ frac {\ parcial f} {\ parcial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ parcial f} {\ parcial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Obtenemos el resultado final:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ parcial f} {\ parcial x\_ {1}} x «\_ {1} (t) + … + \ frac {\ parcial f} {\ parcial x\_ {n}} x «\_ {n} (t) Esta derivación se realiza utilizando la definición de diferencial de una función multivariable (ecuación (2)).
Entonces, ¿cómo obtuvimos esta definición? Veamos primero cómo definimos que f es diferenciable en algún punto A.
Si podemos mostrar que el diferencial total de una función f en algún punto A se ve así:
\ triángulo f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ triángulo x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
donde p\_ {k} es un coeficiente numérico, \ omega es una función que tiene una propiedad que \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 y \ rho (X, A) es la distancia euclidiana entre A y X, entonces decimos que la función f se puede diferenciar en el punto A.
Ahora, necesitaremos un teorema más:
La expresión \ omega (X) \ rho (X, A) de la anterior puede escribirse como:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Prueba:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ left (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ right) \ right)
desde | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), porque | x\_ {k} -a\_ {k} | es el borde an d \ rho (X, A) es la diagonal del paralelepípedo en ángulo recto, podemos tomar la fracción como \ epsilon\_ {k} (X).
Ahora solo necesitamos un teorema más para llegar al diferencial. Este teorema nos da las condiciones necesarias para tener el diferencial de la función.
Si la función f es puede ser diferenciado en algún punto A, entonces hay diferenciales parciales en ese punto y es cierto que:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ suma\_k ^ n \ frac {\ parcial f} {\ parcial x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Prueba:
Como dijimos que f se puede diferenciar en el punto A, podemos escribir:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Digamos que n-1 variables aquí son constantes, y dejaremos solo un cambio poco a poco. Por ejemplo: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, obtenemos:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. En el lado izquierdo tenemos diferencial con respecto a x\_ {1}. Si dividimos ambos lados por x\_ {1} -a\_ {1} = \ triangle x\_ {1} obtendremos:
\ frac {\ triangle f\_ {x\_ {1}}} {\ triangle x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Ahora, si x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , es decir \ triangle x\_ {1} \ mapsto 0, en el lado izquierdo tenemos un diferencial parcial con respecto a x\_ {1}, y en el lado derecho nos queda p\_ {1} porque hemos dicho que \ omega (X) \ mapsto 0. Es fácil ver que el mismo resultado se aplica sin importar qué variable terminemos cambiando, por lo tanto, hemos probado este teorema. De aquí tenemos que
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ { n}} dx\_ {n} que usamos para encontrar la solución.