Mejor respuesta
El operador Del es una forma de encontrar la derivada de un vector. Es posible que esté familiarizado con la búsqueda de la derivada de funciones escalares, que se pueden representar con algo de la forma
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f «(x)
donde f (x) es una función de x, f «(x) es su derivada y \ frac {d} {dx} es el término que nos dice que tomemos la derivada en primer lugar. Puedes pensar en \ frac {d} {dx} como el operador derivativo, porque te dice que tomes una derivada de lo que está al lado.
Ahora, también queremos hacer esto para los vectores, siendo la mayoría de las veces los representados en coordenadas cartesianas (funciones de x, y, y z). ¿Por qué? Porque muchos fenómenos físicos (como los campos eléctricos o gravitacionales) pueden describirse como vectores, y los cambios de estos fenómenos (y por lo tanto las derivadas) son importantes.
Entonces, ¿cómo tomamos la derivada de un vector? ? Usamos el operador Del. Como queremos usarlo con vectores, tendrá que ser un vector en sí mismo. Y como queremos usarlo para las tres coordenadas cartesianas y no solo para x, tendrá más letras. En última instancia, el operador Del se parece mucho a nuestro operador derivado anterior, pero con algunos términos más:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partial} {\ partial x } + {\ hat y} \ frac {\ parcial} {\ parcial y} + {\ hat z} \ frac {\ parcial} {\ parcial z}
La \ nabla es lo que llamamos Del Operator, aunque el símbolo es oficialmente una nabla; ¡Honestamente, me enseñaron que se llamaba delta al revés! Además de una derivada con respecto a x, ahora también tomamos derivadas parciales con respecto a y y z. Cuando tomamos una derivada parcial, simplemente tratamos todas las variables excepto una como constantes y tomamos la derivada con respecto a nuestra variable elegida.
Ahora, dado que hay dos formas de multiplicar vectores, obtenemos naturalmente dos formas de tomar una derivada vectorial. Las dos formas de multiplicar vectores son utilizando el producto escalar y el producto cruzado . ; el resultado de cada multiplicación es un valor escalar y un valor vectorial, respectivamente.
Un ejemplo que usa el producto escalar es calcular la divergencia del campo eléctrico:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Aquí, tomamos una derivada usando el producto escalar y nos queda el valor escalar {\ rho} \_v, que es la densidad de carga de volumen en una región.
Un ejemplo que utiliza el producto cruzado es el cálculo de la curvatura del campo eléctrico:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Aquí, tomamos una derivada usando el producto cruzado y nos quedamos con el valor vectorial \ mathbf {B} (más específicamente, su derivada en el tiempo).
Sin embargo, el operador Del también es útil fuera de los vectores. Si tratamos el Operador Del como una suma de tres cosas diferentes, podemos multiplicarlo por alguna función escalar y esa función se distribuye a lo largo de todo:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ parcial f (x, y, z)} {\ parcial x} + {\ hat y} \ frac {\ parcial f (x, y, z)} {\ parcial y} + {\ hat z} \ frac {\ partid f (x, y, z)} {\ partid z}
¡En este caso, hemos convertido un escalar en un vector! Esto se conoce como tomar el «gradiente» de la función escalar. Lo que hace es decirle en qué dirección está cambiando la función más rápidamente. Esto se usa a menudo para campos potenciales, que toman la forma:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
donde \ mathbf {U} es una energía potencial (como un resorte o la gravedad) y F es la fuerza que resulta de colocarse en ese campo. Sigue siendo una derivada vectorial, que es lo que describimos anteriormente como Operador Del, es solo que es la derivada vectorial de un escalar en lugar de la derivada vectorial de un vector. ¡Sí, esos también existen!
Y continúa. Puede que hayas visto el término {\ nabla} ^ 2; esto se conoce como el Laplaciano, y se ve en cosas como la ecuación de onda. Básicamente, se trata de usar el operador Del dos veces seguidas. Puede expandirse a otros sistemas de coordenadas con más variables, o reducirse a dos o una dimensión. ¡Es un concepto muy importante y se usa en casi todas las ramas de la física!
Respuesta
El operador del (también llamado a veces nabla) se define de la siguiente manera en coordenadas cartesianas :
\ nabla \ equiv \ frac {\ parcial} {\ parcial x} \ hat {i} + \ frac {\ parcial} {\ parcial y} \ hat {j} + \ frac {\ parcial} {\ parcial z} \ hat {k}
¿En cuanto al significado físico?
El operador del actúa como el equivalente de cálculo vectorial de una derivada espacial. Hay tres tipos de derivados asociados con el operador del. Supongamos que A es un vector y \ phi es un escalar.
El degradado: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ sombrero {i} + \ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial y} \ sombrero {j} + \ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial z} \ sombrero {k}
La divergencia: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ parcial A\_x} {\ parcial x} + \ frac {\ parcial A\_y} {\ y parcial} + \ frac {\ parcial A\_z} {\ parcial z}
El Curl: curl (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ parcial} {\ parcial x} & \ frac {\ parcial} {\ parcial y} & \ frac {\ partial} {\ partial z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
Cada uno de estos tipos de derivados tiene propiedades interesantes que usted mismo puede buscar en Google.
¡Espero que esto ayude!
Nota: Todas estas ecuaciones son diferentes en otros sistemas de coordenadas (por ejemplo, esféricas, cilíndricas) . ¡Ten cuidado!