Mejor respuesta
Un tensor contravariante de rango 2 es simétrico si es invariante bajo la permutación de sus índices. Sus componentes no cambian con el intercambio de índices y satisfacen lo siguiente:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
De manera similar, un tensor covariante de rango 2 es simétrico si es invariante bajo la permutación de sus índices y sus componentes satisfacen lo siguiente:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
Los tensores de rango 2 generalmente se pueden representar mediante matrices , por lo que la simetría de un tensor está esencialmente relacionada con la simetría de la matriz que lo representa. Se sabe que si las entradas de una matriz simétrica (cuadrada) se expresan como A = (a\_ {pq}), entonces a\_ {pq} = a\_ {qp} para todos los índices py q. La matriz simétrica es igual a su transposición ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Ejemplos de tensores simétricos de segundo rango incluyen el tensor métrico g \_ {\ mu \ nu} , o el tensor de tensión de Cauchy ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}) que se puede escribir en forma de matriz como:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matriz} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matriz}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ end {matrix}} \ right]}
Si, por ejemplo, tenemos un tensor de rango superior de la forma
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
Se dice que el tensor es simétrico en my p.
Un tensor que es simétrico con respecto a dos contravariantes cualesquiera y cualquier Se dice que dos índices covariantes son simétricos.
Un tensor se llama simétrico sesgado o antisimétrico si
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
En el caso general, un tensor simétrico es un tensor que es invariante bajo una permutación de sus argumentos vectoriales:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
para cada permutación σ de los símbolos {1, 2, …, r }. Alternativamente, un tensor simétrico de orden o rango r representado en coordenadas como una cantidad con r índices satisface
{\ Displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Respuesta
Las matrices son matrices rectangulares de elementos de algún campo (normalmente \ mathbb {R} o \ mathbb {C}, pero no siempre) que tienen una operación de multiplicación por otra matriz y multiplicación por un elemento de campo definido.
Las matrices se utilizan para representar una gran cantidad de cosas diferentes:
- coeficientes de ecuaciones lineales
- transformaciones lineales (dado un conjunto ordenado particular de vectores base)
- cambio de base de espacios vectoriales (dados dos conjuntos ordenados de vectores base)
- tensores (específicamente orden 2 tensores)
- ciertos grupos
- etc.
Algunos de estos usos pueden confundirse: dada una matriz cuadrada no singular sin contexto, es imposible decir mirándolo si representa una transformación lineal (o en qué base está), un cambio de base o un tensor.
En resumen, las matrices son muy generales.
Los tensores son funcionales multilineales sobre vectores y funcionales (vectores duales). En otras palabras, un tensor de orden n + m es una función en n vectores ym vectores duales que devuelve un número real o complejo, y es lineal en todos sus argumentos.
Tensores en espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz n + m-dimensional de elementos del campo del espacio vectorial, y para tensores de orden 2, esto a menudo se representa como una matriz. Al igual que la representación matricial de transformaciones lineales, la representación matricial multidimensional de un tensor depende de la base utilizada.
Los tensores se describen, utilizan y, a veces, incluso definido en términos de matrices multidimensionales de elementos de campo, sujeto a la restricción de cómo se transforma el tensor con respecto a cambios diferenciales en los vectores base. Pero en el fondo, son funcionales multilineales sobre vectores y funcionales lineales.