Mejor respuesta
Puedo agregar un poco a los puntos anteriores. Básicamente, si estuviéramos inmersos en una conversación familiar con Sócrates, simplemente nos dirigiríamos a él como Sōkratēs, «Sócrates», con mucho el uso más común en los diálogos de Platón. En contextos más formales (o fingiendo serios), podríamos agregar su patronímico (nombre del padre): Sōphroniskou, «[Hijo de] Sophroniscus». Para ser más formal aún, podríamos agregar su nombre demótico, refiriéndose a su distrito de origen: «Alōpekēthen» o «de [el nombre de] Alōpeke. Algo así como un «nombre completo» en nuestro sentido se parecería a «Sócrates, hijo de Sophroniscus, de Alopeke» – Sōkratēs Sōphroniskou Alōpekēthen.
Con un poco más de detalle, los dos elementos centrales de un nombre personal en ( la mayoría de) la Grecia clásica eran (1) el nombre de pila y (2) el patronímico (nombre del padre). Por ejemplo, Sócrates era (según la antigua tradición) hijo de un cantero llamado Sofronisco. Así que podría llamarse Sōkratēs Sōphroniskou (literalmente «Sócrates de Sophroniscus», es decir, Sócrates, Sophroniscus «[hijo]). En los diálogos platónicos, a Sócrates se le suele llamar por su nombre de pila (Sōkratēs) en una conversación informal, pero a veces por el nombre de su padre (por ejemplo, Laches 180D: «O hijo de Sofroniscus»), que puede ofrecer variaciones en la conversación, o sugerir (a menudo en juego) un contexto más formal o respetuoso.
Dependiendo de la situación, se podría agregar un tercer elemento: (3) un nombre étnico o demótico, que denota el lugar o la comunidad de la persona de origen. En la Atenas del siglo V a. C., donde Sócrates era ciudadano, el uso local a menudo se refería a un «deme» o distrito de Ática. El deme de Sócrates era Alopeke, y en uno de los diálogos platónicos se le habla (burlándose de él con seriedad) por su nombre demótico (Gorgias 495D). Si estuviéramos fuera de Ática, en otra parte del mundo griego, podríamos agregar (o simplemente decir) que Sócrates era de la ciudad de Atenas en general.
El proyecto Lexicon of Greek Personal Names tiene un buen resumen en línea de cómo se construyen los nombres, si es útil: http://www.lgpn.ox.ac.uk/names/practices.html
Respuesta
Los griegos de esa época solían ser conocidos por un solo nombre. Si hubiera confusión, podrían adoptar un calificativo, como la ciudad de la que eran o su ocupación, o tal vez del nombre de su padre.
Entonces se podría decir que Sócrates era su primer nombre, o más bien, su nombre de pila. Ha habido otras personas llamadas Sócrates antes y después. Si hubiera otras personas corriendo por Atenas en ese momento, es posible que todos se den la vuelta si gritas el nombre.
Los griegos tendían a ser bastante inteligentes sobre sus nombres. (A diferencia de los romanos, que solo tenían un pequeño grupo de nombres de pila para usar, incluido el recurso a simplemente numerar a sus hijos). Sócrates fue nombrado por «Isokratos», «igual poder» (el mismo «kratos» que compone la palabra «democrático», «poder del pueblo»). Esta libertad de denominación significaba que no habría tanta gente con el mismo nombre.