Mejor respuesta
2x + y = 5, x – y = 1 tiene una solución única de x = 2, y = 1. Las líneas 2x + y = 5, x – y = 1 se cruzan en uno y solo un punto y eso es (1,2).
Si hay dos líneas paralelas como x – y = 1 y x – y = 7, entonces no hay solución para las ecuaciones x – y = 1, x – y = 7.
Si 2 ecuaciones son de hecho iguales, como x – y = 1,5 x – 5y = 5 entonces cualquier punto que se encuentre en esa línea es una solución como x = 3, y = 2 o x = 1,000 y = 999 y no hay una solución única.
Es se vuelve un poco más interesante en una situación en la que hay 3 variables, digamos x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 tiene un único solución de x = 1, y = 1, z = 1. Los planos 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 se cruzan en uno y solo un punto y es (1,1, 1).
Si hay tres planos paralelos como x + y + z = 1, x + y + z = 4 y x + y + z = 8, entonces no hay solución para las ecuaciones x + y + z = 1, x + y + z = 4 y x + y + z = 8.
Si una ecuación es una combinación lineal de otras dos, entonces no hay una solución única. Aquí hay un ejemplo 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. No solo es (1,1,1) una solución sino también (2,2, -2) y (3, 3, -7). De hecho, hay infinidad de soluciones.
La razón es que una ecuación es una combinación lineal de las otras
3x + z = 4 es 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Hay muchas referencias a esto, pero es de esperar que esto le dé una idea de qué son las soluciones únicas en sistemas lineales.
Respuesta
Mi respuesta primero supondrá que este es un sistema de ecuaciones lineales en comparación con un sistema con desigualdades lineales.
Respuesta corta – Opciones mutuamente excluyentes: Sin solución, Una solución única o un número infinito de soluciones.
Respuesta larga – Cuáles son los tipos de soluciones depende en cierta medida de cuántas ecuaciones y cuántas variables hay en el sistema lineal y cómo desea describir el sistema.
Algebraicamente:
- Un sistema sin soluciones se denomina sistema inconsistente . Significa que no hay un conjunto de valores para las variables que resuelva simultáneamente todas las ecuaciones del sistema. El siguiente sistema no es coherente:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- Un sistema con exactamente una solución se denomina sistema consistente e independiente. Consistente porque existe una solución e independiente porque cada ecuación es independiente de las otras ecuaciones. Esto significa que cada valor de las variables en la solución es independiente de los valores de las otras variables. Hay exactamente un conjunto de valores, un valor por variable, que resuelve simultáneamente todas las ecuaciones del sistema. El siguiente es un sistema consistente e independiente (tomado de mathisfun.com) con la solución x = 5 y = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- Un sistema con infinitas soluciones se denomina sistema consistente y dependiente. Es dependiente porque al menos una ecuación del sistema es múltiplo de otra ecuación o una combinación de otras ecuaciones. Eso significa que mientras que las otras variables en el sistema tienen solo un valor que resuelve simultáneamente todos los sistemas, una o más variables pueden resolver el sistema con cualquier valor. El siguiente es un sistema dependiente consistente con solución y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y – 3 z = 3
- 2 x + 3 y – 2 z = 8
Gráficamente (sistema de 3 variables como ejemplo):
- Un sistema con dos variables se puede representar mediante un grupo de líneas en un gráfico bidimensional (generalmente xy), mientras que un sistema con tres variables es una colección de líneas o planos en un gráfico tridimensional (generalmente xyz).Por tanto, un sistema con n muchas variables se representa en un gráfico n- dimensional.
- En un sistema independiente coherente , todos los planos se encuentran en un punto (es decir, 2 paredes y un piso que se encuentran en una esquina). En el sistema consistente e independiente usado anteriormente en la respuesta algebraica, los tres planos se intersecan en el punto (5,3,2).
- En un consistente , sistema dependiente , todos los planos se encuentran no solo en un punto, sino en una línea (es decir, tres páginas de un libro que se encuentran en el lomo). En el sistema utilizado anteriormente en la respuesta algebraica, los tres planos se intersecan en la línea -5 y + 20 z = 27 (Tenga en cuenta que x puede ser cualquier valor en la solución).
- En un sistema inconsistente , al menos dos planos son paralelos y, por lo tanto, nunca se encuentran. El tercer plano puede ser paralelo a ambos planos (es decir, líneas de carreteras en una calle) o puede cruzarlos a ambos pero nunca en el mismo lugar. (es decir, paredes opuestas en una habitación y el techo).