La mejor respuesta
Un espinor es solo un vector que se comporta de manera diferente bajo rotaciones y ciertas otras transformaciones .
En lugar de hablar de generalidades, creo que es mucho más fácil pensar en espinores cuando tienes un ejemplo matemático concreto con el que trabajar. Esta respuesta va a hacer precisamente eso. No se asume ningún conocimiento matemático más allá del álgebra lineal introductoria.
Se puede encontrar una introducción más técnica en Excelente artículo introductorio de Steane sobre el tema, con un tratamiento más completo proporcionado aquí: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Todas las ilustraciones a continuación son suyas. Si me sale algo mal, no dude en comentarlo.
Qué son los Spinors
Dije anteriormente que los espinores eran solo vectores. ¿Qué significa eso? Significa que tienen todas las propiedades de los vectores:
- se pueden sumar,
- multiplicar por una constante (también llamada escalar ),
- existe algo como un espinor «cero»,
- y cada espínor tiene un espínor inverso .
Puedes ir y agregar requisitos más complejos:
- Dos espinores pueden tener un producto interno bien definido, al igual que los espacios vectoriales.
- Un espínor puede tener una longitud significativa, al igual que otros espacios vectoriales.
y así sucesivamente.
Acerca de solo requisito para un spinor que lo hace distinto de un vector es que intentar rotarlo no le dará el resultado esperado – intentar rotar 360 grados no le da el mismo spinor, pero rotar por 180 grados lo hará. De manera más general, ¡la rotación en un ángulo \ theta requiere usar la matriz de rotación para un ángulo \ theta / 2!
Con eso en mente, aquí hay un espinor simple que se puede imaginar en el espacio euclidiano tridimensional ordinario. y que asume todas las propiedades que he enumerado anteriormente. Este es el espinor más simple y el que será más familiar para los físicos.
Aquí hay una descripción matemática perfectamente válida del espínor anterior:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
¡Saluda a tu primer spinor!
Pensando en los espinos: una advertencia
Antes de continuar, observe algo: el espacio euclidiano, como mencioné, es tridimensional, pero solo necesito dos componentes para representar mi espinor. ¿Cómo puede ser esto? ¿No es necesario que todos los vectores tengan el mismo número de componentes que la dimensión del espacio que ocupan?
La contradicción se puede resolver en una frase: Los espinores no viven en el espacio euclidiano ; pueden corresponder a objetos en el espacio euclidiano, y las cosas que se les hacen pueden corresponder a las cosas que se hacen en el espacio euclidiano, pero ese no es su hogar.
La verdad es que el spinor no tiene dos componentes como dije anteriormente (en este punto probablemente estés entrecerrando los ojos a la pantalla y maldiciendo en voz baja ). Un spinor no tiene la misma orientación que un vector en el espacio vectorial en el que lo hemos puesto; puedes modelar objetos en un espacio vectorial ordinario con él, como lo he hecho aquí, pero un verdadero spinor está definido por más parámetros que el de un vector ordinario en ese espacio.
En pocas palabras , donde la orientación de un vector ordinario solo estaría definida por r, \ theta, \ phi, la orientación de un espinor está definida por r, \ theta, \ phi, \ alpha y su signo (asumido positivo en el ejemplo anterior) – hablando con propiedad, un espacio vectorial tridimensional puede ser representado por un cuatro dimensional spinor (el signo, dado que solo puede tomar dos valores, también se puede considerar como una dimensión, pero sería bastante innecesario).
Puede escribir este spin o como un vector con cuatro componentes , uno para cada parámetro, multiplicado por un signo, o puede usar un truco, como Lo he hecho, y finjo que el espinor tiene componentes complejos, lo que nos permite escribir claramente el mismo spinor con la representación anterior con dos coordenadas.Es por eso que mi espinor parece tener dos componentes, cuando en realidad tiene cuatro parámetros y la dimensión asociada que lo acompaña, en un espacio vectorial tridimensional: porque nuestros espinores existen en su propio espacio complejo, no en el espacio vectorial tridimensional.
Entonces, antes de continuar, recuerda : los espinores solo necesitan tener la misma dimensión espacial (es decir, los parámetros necesarios para especificar su orientación en el espacio) pero no es necesario que esos sean los únicos parámetros que la definen. En este caso, estoy tratando los componentes de mi espinor como valores complejos, razón por la cual puedo escribirlo de manera tan concisa en un vector de columna de dos componentes, pero los espinores pueden tener y tienen más parámetros, por lo que son bastante complicados trabajar con.
En la vida real, recomendaría encarecidamente recordar que los espinos «t realmente viven junto a nosotros: son, como todas las demás cosas de la física, abstracciones matemáticas que hacen la vida más fácil para trabajar. Todo lo que realmente les sucede a objetos tridimensionales, pero podemos usar espinores para modelarlos y hacer las matemáticas más agradables, por eso lo hacemos.
Para lleve este punto a casa, considere el siguiente diagrama:
Observe cómo la presencia del ángulo de la bandera complica cuestiones tan simples como la rotación y lo que constituye la ortogonalidad. Es un parámetro adicional , y eso marca la diferencia.
Debido a los problemas que presenta esta dimensionalidad extraña del espinor, no se puede simplemente usar la matriz de rotación ordinaria para dos dimensiones con el que estamos más familiarizados, a saber, el ubicuo \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} para cualquier ángulo. Esto sería correcto para un vector bidimensional, pero incluso los espinores más simples son no , como me he esforzado en señalar, bidimensionales. Ni siquiera puede usar las matrices tridimensionales regulares; ciertamente puede traducir el efecto de la rotación en estos tipos, pero no es correcto para directamente multiplica un espínor con ellos, porque no pertenecen al mismo espacio.
Cómo rotar los espines
Una rotación alrededor de cada eje, entonces, viene dada por su propia matriz de rotación especial, definida en un espacio completamente diferente donde viven los espinores (en lugar del espacio euclidiano). Denotemos las matrices de rotación por el ángulo \ theta en las direcciones x, y, z como R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Luego ,
R\_ {x} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begin {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Aquí está la parte divertida: ¿te das cuenta? ¿Cómo todas estas matrices de rotación usan el medio ángulo \ frac {\ theta} {2} para rotar por ángulo \ theta?
¡Es cierto! Este fenómeno de duplicación de ángulos es el sello distintivo de los espinores: incluso puedes probar que multiplicar un espino por estas matrices de medio ángulo es equivalente a rotar la parte espacial por el ángulo completo.
Y eso «es literalmente eso : todo lo que necesita para saber acerca de los espinores – que son vectores que viven en su propio espacio especial y tienen sus propias matrices de rotación especiales – cubierto en una respuesta de Quora. He restringido mi atención a los espinores más simples que existen, por supuesto, pero lo esencial se presentan todas las características. Si desea profundizar más, consulte Steane (enlace arriba).
Por qué nos preocupan los espinos
Los espinos son importantes porque resulta que pueden describir el espectro completo de comportamiento esperado de las partículas subatómicas. En particular, las partículas vienen empaquetadas con momento angular intrínseco, una propiedad que llamamos spin (ver la respuesta de Brian Bi a ¿El giro de las partículas subatómicas realmente implica el momento angular (es decir, ¿la partícula realmente * gira *)? para una descripción completa).Al modelar partículas como espinores en lugar de vectores ordinarios, podemos describir con éxito la interacción que esperamos de este espín y proporcionar una descripción completa del comportamiento de las partículas; de hecho, los espinores forman la base de la ecuación de Dirac, que reemplaza a la ecuación de Schrodinger. para proporcionar una ecuación de onda compatible con la relatividad especial y, a su vez, forma la base de la teoría cuántica de campos (la extensión de la mecánica cuántica para describir fuerzas).
Respuesta
Los espinos son objetos geométricos que existen al vivir en espacios vectoriales reales (en contraste con los espacios vectoriales complejos o cuaterniónicos).
Entonces, para dar un paso atrás, un vector es un objeto que existe en el espacio y se dice que apunta en una dirección dada. Lo que eso significa es que si gira sus ejes, el vector de componentes cambia de la misma manera.
Los vectores tienen la propiedad de que si los rotas 360 «, obtienes el mismo objeto.
Hay una gran cantidad de objetos geométricos que se pueden construir a partir de vectores. Por ejemplo puedes tomar dos vectores y multiplicarlos para obtener tensores. En particular, el tensor de momento de inercia es uno de ellos. Los tensores tienen la propiedad de que si los giras 360 «/ N, obtienes el mismo objeto y si rotarlos 360 «siempre regresa al mismo objeto.
En espacios que tienen un grupo de simetría que es ortogonal (los que surgen naturalmente en espacios vectoriales reales), existen otros tipos de objetos geométricos que son no está compuesto por vectores. Una forma de ver esto es que si los rotas 360 «no» obtienes el mismo objeto, en cambio, terminas con -1 veces el objeto original – está apuntando en el «direccion opuesta.
Estos son objetos extraños; sin embargo, estos objetos son los que describen naturalmente los objetos de espín 1/2 en física.
Estos objetos existen debido a la extraña propiedad de que el grupo de simetría ortogonal está doblemente conectado. Aquí hay una estructura matemática rica, pero estos objetos son moralmente la raíz cuadrada de un vector; es decir, si multiplicas dos espinores juntos obtienes un vector, como cuando multiplicas dos vectores juntos obtienes un tensor de segundo rango como el momento de tensor de inercia.