Mejor respuesta
Se da que
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ times x \ times \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Ahora el valor de x ^ 2 será – \ omega y – \ omega ^ 2
Donde
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
Y
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Tomemos que x ^ 2 será – \ omega
Ahora la expresión dada es \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Flecha derecha {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega}) } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Ahora recuerda que \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Entonces
\ displaystyle {s = 1 – (1 \ times {\ omega}) + (1 \ times {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Entonces la respuesta es 0
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Respuesta
Este problema es un poco más simple de lo que parece al principio, y es una lección de lo útil puede ser buscar, y luego explotar, la simetría. El problema no requiere ningún cálculo para resolverlo, aunque si conoce algo de cálculo, ese enfoque funciona muy bien. La clave para una solución que no es de cálculo es observar que si el mismo valor minimiza g (x) y h (x), entonces también minimiza g (x) + h (x). ¿Ves por qué esto es cierto?
¿Cómo podemos aplicar esa idea a este problema?
Considera g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. Esta función es simétrica alrededor de x = 3.5 – el punto medio entre los valores +3 y +4 que se suman ax – ya que podemos escribirlo como g (x) = ((x + 3.5) -0.5) ^ 4 + ((x + 3,5) +0,5) ^ 4. Dejando y = x + 3.5, esta simetría implica que g (y) debe ser un polinomio par, por lo tanto, contiene términos con solo potencias pares de y. Como es un polinomio par, el teorema del binomio nos dice que todos sus coeficientes deben ser positivos. (De hecho, es g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, pero ni siquiera necesitamos encontrar estos tres términos explícitamente para terminar el argumento). Dado que y = 0, claramente minimiza cada de los sumandos de g (y) individualmente dado que cada uno es una potencia par de y con coeficiente positivo, nuestra observación inicial implica que y = 0 debe minimizar g también. Entonces, descubrimos que x = -3.5 es el minimizador único de g (x).
A continuación, considere h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Esta función es un poco más simple que g ya que es cuadrática, y un argumento casi idéntico implica que x = 3.5 es también el minimizador único de h (x). Aprovecha la simetría para escribirla como h (x) = ((x + 3.5) -3.5) ^ 2 + ((x + 3.5) +3.5) ^ 2. Luego, observe que h (y) es un polinomio par (por lo tanto, solo tiene potencias pares de y), y use el teorema del binomio para concluir que solo tiene coeficientes positivos. De hecho, h (y) = 2y ^ 2 + 24.5, pero nuevamente, no es necesario que lo busquemos explícitamente. Dado que y = 0 minimiza todos los términos que se suman para producir h (y), sabemos que y = 0 minimiza h (y), y concluimos que x = -3.5 es el único minimizador de h (x).
Finalmente, dado que x = -3.5 es el único minimizador de g (x) y h (x), es el único minimizador de su suma, y el problema está resuelto.