Feststellen, ob eine Matrixgleichung eine eindeutige Lösung hat

Beste Antwort

Es gibt zwei Möglichkeiten, um festzustellen, ob eine Matrix (und damit das Gleichungssystem, das die Matrix darstellt) ) hat eine eindeutige Lösung oder nicht.

a. Cramer-Methode.

Konvertieren Sie das Gleichungssystem in die Matrixform AX = B, wobei A = Koeffizientenmatrix, X = Variablenmatrix und B = Ergebnismatrix.

Benennen Sie die Koeffizientenmatrix als D. Ersetzen Sie für eine 3 x 3-Matrix die 1., 2. und 3. Spalte der D-Matrix durch die Ergebnisspaltenmatrix, um die Matrizen Dx, Dy und Dz zu erhalten.

1. Wenn D nicht gleich 0 ist und mindestens eines von Dx, Dy und Dz nicht gleich 0 ist, ist das Gleichungssystem konsistent und hat eine eindeutige Lösung.
2. Wenn D. = 0 und wenn Dx, Dy und Dz = 0, aber wenn mindestens einer der Bestandteile der Koeffizientenmatrix (aij) oder mindestens einer der 2 x 2 Minderjährigen ungleich 0 ist, ist das Gleichungssystem konsistent und hat unendlich viele Lösungen.
3. Wenn D = 0 und mindestens eine von Dx, Dy und Dz nicht Null ist, ist das Gleichungssystem inkonsistent (keine Lösung).

Somit ergibt das Gleichungssystem nur dann eine eindeutige Lösung, wenn der Wert der Determinante ist ungleich Null.

b. Rangmethode

Schreiben Sie das Gleichungssystem im Matrixformat AX = B auf, wobei A = Koeffizientenmatrix, X = Variablenmatrix und B = Ergebnismatrix.

Ermitteln Sie den Rang der Matrix A.

Notieren Sie die erweiterte Matrix [A, B]

Ermitteln Sie den Rang der erweiterten Matrix [A, B]

1. 1. Wenn der Rang der Matrix A nicht gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, ist das Gleichungssystem inkonsistent und hat keine Lösung.
2. Wenn der Rang beider Matrizen gleich und gleich der Anzahl von ist unbekannte Variablen im System und wenn die Matrix A nicht singulär ist, ist das Gleichungssystem konsistent und hat eine eindeutige Lösung.
3. Wenn der Rang beider Matrizen gleich ist, der Rang jedoch kleiner als die Anzahl der Unbekannten, dann ist das Gleichungssystem konsistent und hat unendlich viele Lösungen. Es gibt also nur drei Möglichkeiten: Inkonsistente und keine Lösung, Konsistent mit eindeutiger Lösung, Konsistent mit unendlich vielen Lösungen.

Das System ergibt also eine Ausbeute Eine eindeutige Lösung nur, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix = Rang der erweiterten Matrix = Anzahl der Unbekannten.

Antwort

Die Theorie besagt, dass Ax = b hat eine eindeutige Lösung, wenn \ det (A) \ neq0 und ansonsten keine Lösung oder unendlich viele. Die Matrix heißt in diesem Fall singular

Die Praxis sagt Ihnen jedoch, dass dies fast nie passiert. So kann jeder Satz von Gleichungen gelöst werden? Ja und nein. Wenn die Matrix fast singulär ist, erhalten Sie möglicherweise eine Lösung, die jedoch nicht aussagekräftig ist. Der Grund ist, dass kleine Schwankungen auf der rechten Seite enorme Schwankungen (um mehrere Größenordnungen) in der Lösung verursachen können. Das System heißt in diesem Fall schlecht konditioniert . Dies ist eine schlechte Sache, da Sie im Verlauf von Berechnungen durch Subtraktion nahezu gleicher Mengen möglicherweise signifikante Ziffern verlieren.

Wie können Sie das beurteilen? Die Bedingungsnummer \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | ist das theoretische Maß. Der beste Wert ist 1, je größer desto schlechter. Aber es ist nicht so einfach zu berechnen. Ein praktischer Weg, dies zu tun, besteht darin, eine kleine zufällige Störung Ihrer rechten Seite zu nehmen und die beiden Lösungen zu vergleichen. Wenn sie sich erheblich unterscheiden, haben Sie ein schlecht konditioniertes System.