Beste Antwort
Es gibt wirklich keine allgemeine Definition des Raums in der Mathematik. Fast jedes Objekt, an das wir visuell denken können, kann als Raum bezeichnet werden. Metrische Räume, Mannigfaltigkeiten, Hilbert-Räume, Orbifolds, Schemata, Messräume, Wahrscheinlichkeitsräume und Modulstapel sind alles Dinge, die wir Räume nennen.
Das, was einer allgemeinen Definition von Raum am nächsten kommt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass a topologischer Raum. Beispielsweise sind metrische Räume, Mannigfaltigkeiten, Hilbert-Räume, Orbifolds und Schemata topologische Räume mit etwas mehr Struktur.
Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge von Punkten, X und einer Sammlung von Teilmengen von X, das wir „offen“ nennen, unter den Bedingungen, dass
- Die leere Menge und X selbst offen sind,
- Jede Vereinigung offener Mengen ist offen,
- Und der Schnittpunkt eines Paares offener Mengen ist offen.
Die offenen Mengen sollen wie die offenen Teilmengen von \ mathbb {R} sein. Auf die Gefahr hin, vage zu sein, betrachten wir die offenen Mengen als diese Teilmengen U von X, so dass jeder Punkt von U ein wenig verschoben werden kann, ohne U zu verlassen. Dies ist buchstäblich der Fall für \ mathbb {R}, da die Offene Mengen dort sind als Teilmengen U definiert, so dass für alle x \ in U ein \ epsilon> 0 vorhanden ist, so dass (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ Teilmenge U (dh x um weniger als \ epsilon verschieben) führt nicht zu einem Punkt außerhalb von U).
Es stellt sich heraus, dass diese minimale Menge an Informationen – eine Menge von Punkten und eine Sammlung offener Teilmengen – ausreicht, um festzustellen, ob Funktionen kontinuierlich sind. Dies macht topologische Räume wirklich nützlich.
Andererseits ist nicht jeder Raum in der Mathematik ein topologischer Raum oder sogar, wie andere geantwortet haben, eine Reihe von Punkten mit einer zusätzlichen Struktur. Ich war erstaunt, dies vor einigen Semestern zu lernen.
Das Gegenbeispiel, an das ich denke, ist die Idee eines Modulstapels, der (das wird seltsam!) Eine bestimmte Art von functor F: \ mathcal {C} \ bis \ mathcal {D}, wobei das Vorbild jedes Objekts D von \ mathcal {D} als Sammlung kontinuierlicher Funktionen betrachtet wird von D zu dem Raum, den F darstellen soll.
Wie um alles in der Welt ist das ein Raum? Um eine gewisse Intuition zu erhalten, betrachten Sie die Menge der stetigen Funktionen aus einem Raum, der aus einem einzelnen Punkt besteht, in einen topologischen Raum X. Für jeden Punkt p \ in X erhalten wir eine Funktion, die den einzelnen Punkt zu p nimmt. In diesem Sinne beschreibt die Menge der stetigen Funktionen von einem Punkt zu X die Punkte von X. Wenn wir Funktionen von etwas schickerem, beispielsweise einem Liniensegment, in X betrachten, bekommen wir eine Vorstellung davon, wie die Punkte von X zusammenhängen einander – welche können durch einen Pfad miteinander verbunden werden, welche sind nah und welche weit voneinander entfernt und so weiter. Indem wir alle möglichen Funktionssätze in X berücksichtigen, können wir genau ableiten, was X ist. Dies ist eine Idee, die unter dem Namen Yoneda Lemma bekannt ist. Die Idee eines Modulstapels besteht darin, dies als Metapher zu verwenden: Jeder Funktor, der Funktionen in einem topologischen Raum beschreibt, kann verwendet werden, um einen „Raum“ zu definieren.
Was ich hervorheben möchte ist dies: Es gibt viele Arten von Räumen in der Mathematik, aber wenn Sie eine grundlegende Vorstellung davon bekommen möchten, was ein Raum ist, sollten Sie topologische Räume studieren. Das heißt, die Dinge werden seltsam!
Antwort
Der Raum selbst hat keine formale Definition. Es ist fast eine mathematische Version des Wortes „Ding“. Vielleicht ist ein näheres Synonym „gesetzt“, aber das Wort „Raum“ bedeutet, dass es eine zusätzliche Zutat gibt … eine Struktur … die auch im Spiel ist. Andernfalls würden sie nur das Wort „set“ verwenden.
Verschiedene Arten von Räumen haben Definitionen. Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die einigen Regeln folgt. Ein topologischer Raum ist eine Menge zusammen mit einer speziellen Sammlung von Teilmengen Ein metrischer Raum ist eine Menge zusammen mit einer geeigneten Formel, die den Abstand zwischen Punkten in der Menge angibt. Oft haben die speziellen Arten von Räumen beschreibende Namen wie diese.
Andere Arten von Räumen sind nach Personen benannt, die sie studiert haben. Banach-Räume, Hilbert-Räume, Sobolev-Räume … dies sind alles spezielle Arten von Vektorräumen mit etwas zusätzlicher Struktur das macht sie auf ihre eigene Weise interessant und ist nach Leuten benannt, die für die Entwicklung dieser Geschichte von Bedeutung waren.