Beste Antwort
Es kommt darauf an.
a ^ 2 + b ^ 2 kann nicht faktorisieren, weil Es gibt keine zwei Zahlen mit einer Summe von Null und einem Produkt größer als Null.
Die Summe zweier Quadrate in der Form a ^ 4 + 4b ^ 4 kann wie folgt berücksichtigt werden:
(a ^ 2) ^ 2 + (2b ^ 2) ^ 2 – 4a ^ 2b ^ 2
(a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2ab) (a ^ 2 + 2b ^ 2 – 2ab)
Beispiele:
x ^ 4 + 4 = (x ^ 2 + 2x + 2) (x ^ 2 – 2x + 2)
x ^ 4 + 64 = (x ^ 2 + 4x + 8) (x ^ 2 – 4x + 8)
x ^ 4 + 324 = (x ^ 2 + 6x + 18) (x ^ 2 – 6x + 18)
Wir könnten versuchen, x ^ 4 + 1 und x ^ 4 + 2 folgendermaßen zu faktorisieren:
x ^ 4 + 1 = (x ^ 2 + \ sqrt {2} x + 1) (x ^ 2 – \ sqrt {2} x + 1)
x ^ 4 + 2 = (x ^ 2 + \ sqrt [4] {8} x + \ sqrt {2}) (x ^ 2 – \ sqrt [4] {8} x + \ sqrt {2})
Wir können jeden von diesen mit irrationalen Zahlen faktorisieren.
Wir könnten auch versuchen, x ^ 2 + 4 zu faktorisieren:
\ sqrt {x ^ 4} + 4
(x + 2 \ sqrt {x} + 2) (x ^ 2 – 2 \ sqrt {x} + 2)
Es ist auch möglich, die Summe der Quadrate in der Form a ^ 6 + b ^ 6 zu faktorisieren, da sie auch Würfel sind. Die Summe von zwei Würfeln (a ^ 3 + b ^ 3) kann als (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) berücksichtigt werden:
a ^ 6 + b ^ 6 = (a ^ 2) ^ 3 + (b ^ 2) ^ 3 = (a ^ 2 + b ^ 2) (a ^ 4 – a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4)
a ^ 6 + 64 = (a ^ 2 + 4) (a ^ 4 – 4a ^ 2 + 16)
Wir könnten versuchen, x ^ 2 + 1 folgendermaßen zu faktorisieren:
\ sqrt [3] {x ^ 6} + 1
(\ sqrt [3] {x ^ 2} + 1) (\ sqrt [3] {x ^ 4} – \ sqrt [3] {x ^ 2} + 1)
Antwort
Ja, dies wirkt sich auf \ C
a ^ 2 + b ^ 2
= aus a ^ 2-i ^ 2b ^ 2
= (a + ib) (a-ib)
wobei i = \ sqrt {-1}
Wenn wir jedoch Folgendes haben …
a ^ 4 + 4b ^ 4, dann
(a ^ 2) ^ 2 + (2b ^ 2) ^ 2 [Dies ist immer noch das Summe der Quadrate]
= (a ^ 2 + 2b ^ 2) ^ 2–4a ^ 2b ^ 2
= (a ^ 2 + 2ab + 2b ^ 2) (a ^ 2–2ab + 2b ^ 2)
Dies wird als Sophie Germain Identity .