Beste Antwort
Ah! Dies ist eine schöne Beobachtung, und sie lehrt uns, dass Ortswert-Zahlensysteme es einigen Zahlen ermöglichen, mehrere Darstellungen mit unterschiedlichen Ziffern zu haben.
Ich schlage vor, Sie versuchen, den Unterschied zwischen den beiden numerischen Ausdrücken zu finden ( Zeigen Sie also, dass sich dazwischen eine Zahl befindet.
Sie können dies nicht auf die übliche Weise tun, da es keine letzten 9 Ziffern gibt, um die Subtraktion von der niedrigstwertigen Ziffer durchzuführen , Gibt es? Das liegt daran, dass sie für immer weitergehen.
Im Wesentlichen können Sie jedoch von der wichtigsten Ziffer ausgehen und sie weiterhin rechts „ausleihen“, anstatt sie von links „auszuleihen“.
Wenn wir uns also die ersten Ziffern ansehen, haben wir
\ begin {align *} & 1.00000 \ dots \\ & 0.99999 \ dots \ end {align *}
„Ausleihen“ auf der rechten Seite bedeutet, dass der Teil der obersten Zahl zehn Zehntel beträgt (was es ist!). Wenn Sie neun Zehntel abziehen, bleibt ein Zehntel übrig. Aber wir können das dann rechts als „ausleihen“ zehn Hundertstel und subtrahieren neun Hundertstel davon und fahren auf unbestimmte Zeit fort.
Und dies geht auf unbestimmte Zeit weiter. Es gibt keinen Ort, an dem der Prozess stoppt und eine 1-Ziffer hinterlässt, weil (in gewissem Sinne) abgeschlossen werden muss Dieser (unendliche) Prozess würde nur Nullen zurücklassen, wenn er „ganz“ nach rechts voranschreitet.
Es gibt andere – strengere und elegantere – Möglichkeiten, um zu beweisen, dass 0. \ dot {9} = 1.
Eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, die Last zu verlieren, die die Dezimalstelle ist. B. ase System (Basis zehn) und zählen in ternären (Basis drei). Ternär ist das System, in dem wir 0, \, 1, \, 2, \, 10, \, 11, \, 12, \, 100, \, \ Punkte zählen. Zahlen in ternären Zahlen haben keine Dezimalstellen, sondern ternäre Punkte. Im Ternären haben wir \ frac {1} {3} = 0.1 und \ frac {2} {3} = 0.2.
Aber dann ist der Bruch \ frac {1} {2} = 0. \ Punkt {1} wird nicht beendet! Ganz zu schweigen davon, dass im Ternären die sich nicht wiederholende 0. \ dot {2} = 1 ist, da dies genau das Doppelte des vorherigen Ausdrucks ist (wenn Sie die rechte und linke Seite der Gleichheit vertauschen, muss dies so sein).
Dies ist das Große und Mächtige an Gleichheit. Da wir wissen, dass in Basis zehn \ frac {1} {3} = 0. \ dot {3}, dann \ frac {3} {3} = 1 = 0. \ dot {9}, was beweist, dass dieselbe Zahl kann haben mehrere Darstellungen im gleichen numerischen System mit Ortswert.
Die Moral der Geschichte besteht darin, nicht in das verwickelt zu werden, was wir Dinge nennen, sondern sich stattdessen auf das zu konzentrieren, was sie sind und was sie tun .
Antwort
Ja, eins geteilt durch Drei sind in den Feldern reelle oder rationale Zahlen möglich und entsprechen einem Drittel.
Es ist nicht möglich, ein Drittel mit darzustellen eine endliche Dezimalpositionsnotation. Wenn Sie eine unendliche Darstellung verwenden möchten, wie sie durch die Punkte in 0.333 \ dotsc impliziert wird, sollten Sie eine formale Möglichkeit haben, zu sagen, was dies bedeutet. Mathematiker haben eine solche formale Spezifikation, die als Grenzwerte bezeichnet wird und in der 0,999 \ dotsc = 1 ist.
Beachten Sie, dass die dezimale Darstellung einer Zahl ist nicht die Nummer selbst. Genauso wie Sie nicht Ihr Name oder Ihr Spitzname oder eine Ihrer vielen IDs sind. Zahlen haben viele Darstellungen, einschließlich vieler verschiedener Basen, Wörter, Ausdrücke usw. Die Darstellungen für ein Drittel umfassen:
- 0,333 \ dotsc (dezimal)
- 0,1\_3 (ternär)
- \ frac13
- 20 „(Minuten – ein Drittel einer Stunde)
- 120 ° (Grad – ein Drittel eines Kreises)
- \ frac26
und so weiter.
Die tatsächliche Nummer eins Drittel bleibt von all diesen Darstellungen fern. Sie wird definiert durch ihre Eigenschaft, geteilt zu sein Mit anderen Worten, es ist diese Zahl, die eins ergibt, wenn sie mit drei multipliziert wird. Alles andere ist nur eine Zwischennotation, die, wie Sie bemerkt haben, in Dezimalzahlen etwas ungeschickt ist.