Beste Antwort
Ist ein Kreis eine Funktion oder nicht? Warum?
Um genau zu sein, wenn Sie kartesische Koordinaten verwenden, gibt es keine explizite -Funktion von x mit Bereich ist der Wert von y, dessen Punkte auf einem vollständigen Kreis liegen. Der Grund dafür ist, dass es für fast jeden Wert von x innerhalb des Kreises zwei Werte von y gibt, die dem oberen und unteren Halbkreis entsprechen, während eine explizite Funktion für jeden Wert von x einen eindeutigen Wert haben muss. Das Beste, was wir tun können, ist, zwei Funktionen von x zu verwenden, eine für jeden dieser Halbkreise. Zum Beispiel für einen Kreis mit dem Radius \ text {R}, der am Ursprung zentriert ist:
\ qquad y = \ pm \ sqrt {\ text {R} ^ 2-x ^ 2}
Hier ergibt die Auswahl von a + eine Funktion, deren Punkte auf dem oberen Halbkreis liegen, und die Auswahl von a – eine Funktion mit Punkten auf dem unteren Halbkreis.
Aber wir können durchaus eine implizite Funktion, die die beiden Koordinaten in Beziehung setzt, z. B.:
\ qquad x ^ 2 + y ^ 2 = \ text {R} ^ 2
Es gibt auch andere Möglichkeiten, explizite Funktionen für einen Kreis unter Verwendung verschiedener Domänen und Bereiche für die Funktion zu erstellen. Das Folgende ist beispielsweise eine explizite Funktion, die einen Kreis in kartesischen Koordinaten definiert:
\ qquad f (t) = (\ text {R} \ cos (t), \ text {R} \ sin (t))
Hier ist die Domäne wie üblich die Menge der reellen Zahlen \ R, aber in diesem Fall ist der Bereich der Funktion die Menge der Punkte in der xy-Ebene, wobei zu beachten ist, dass wir jede haben können Sätze, die wir für die Domäne und den Bereich einer Funktion mögen. Beachten Sie in diesem Fall jedoch, dass die Werte der Funktion auf dem Kreis liegen und das Argument t eine unabhängige Variable ist.
Und natürlich müssen wir uns nicht an kartesische Koordinaten halten. Wenn wir stattdessen Polarkoordinaten für die Ebene verwenden, können wir eine sehr einfache explizite Funktion für einen Kreis haben, z. B.:
\ qquad r (\ theta) = \ text {R}
In der Praxis werden alle oben genannten expliziten und impliziten Funktionen in der Mathematik häufig verwendet, wenn es um Kreise geht.
Antwort
Ein Kreis ist eine Menge von Punkten in der Ebene. Eine Funktion ist eine Zuordnung von einem Satz zu einem anderen, daher sind sie völlig unterschiedliche Arten von Dingen, und ein Kreis kann keine Funktion sein.
Sie wollten vermutlich fragen, ob der Kreis der Graph einer Funktion ist. Der Graph einer Funktion f ist die Menge von Paaren (x, f (x)) für alle x in der Domäne, die als Punkte in einer Ebene interpretiert werden können.
Die Frage ist also ob es eine Funktion gibt, deren Graph der Kreis ist.
Die Antwort lautet Nein, da jeder Wert in der Domäne genau einem Punkt in der Codomäne zugeordnet ist, aber eine Linie, die durch den Kreis verläuft, im Allgemeinen den Kreis bei schneidet zwei Punkte.
So etwas ist unpraktisch, weil Kreise in der Geometrie sehr wichtig sind. Manchmal werden die Punkte eines Kreises durch eine -Beziehung beschrieben, die durch (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 gegeben ist, wobei (a, b) ist das Zentrum und r ist der Radius. Aufgrund der Quadrate kann es zwei verschiedene Werte von y geben, die die Beziehung für verschiedene Werte von x wahr machen, so dass der Graph der Relation ist ein Kreis.