Che cosa sono il diagramma spaziale e il diagramma vettoriale?

Migliore risposta

Spiegherò con laiuto di un esempio. La figura mostra un traliccio caricato e supportato come mostrato. Il nostro interesse è scoprire le reazioni e le forze in tutti i membri di un traliccio. Le reazioni e le forze nelle aste dipendono non solo dallentità e dalla direzione delle forze applicate, ma anche dalla loro posizione, ovvero i punti di applicazione. Il diagramma dello spazio si occupa del punto di applicazione delle forze e della geometria del traliccio.

La figura sopra mostrata è solo per ottenere le reazioni. La forza applicata P\_1 è ab e la forza P\_2 è bc nel diagramma vettoriale. La reazione R\_1 è uguale a da e la reazione R\_2 è uguale a cd nel diagramma vettoriale.

Possiamo procedere ulteriormente con il diagramma spaziale e il diagramma vettoriale per calcolare le forze in tutte le aste. Non fatto qui solo per mantenere la figura molto semplice da capire.

La condizione di equilibrio è soddisfatta quando il diagramma vettoriale e il poligono funicolare si chiudono.

Risposta

It non è del tutto chiaro cosa significhi “posizioni” qui, ma penso che una risposta potrebbe essere che i vettori non hanno posizioni ma gli spazi vettoriali possono avere posizioni, e queste due idee coprono le applicazioni.

Io m assumendo qui che la mancanza di “posizionalità” nella domanda si riferisca al fatto che “frecce” parallele della stessa lunghezza e orientamento rappresentino lo stesso vettore. Ci sono numerose ragioni per introdurre questa convenzione.

• Una delle idee fondamentali alla base dellutilizzo di base dei vettori è il concetto di spostamento , che è anche la fonte di velocità, accelerazione e (tramite F = ma) forza. Gli spostamenti non hanno posizione, piuttosto, cè un potenziale spostamento di una data direzione e grandezza in ogni posizione. Se diciamo “dirigiti a dieci miglia a nord-ovest”, questa è unistruzione di spostamento che si applica ovunque e non solo in una posizione particolare.
• Gli spostamenti possono essere combinati, ma solo se il secondo spostamento inizia dove finisce il primo . Se gli spostamenti sono rappresentati da frecce, allora, per ottenere lo spostamento combinato, una delle frecce deve essere traslata per ottenere una configurazione da coda a testa per lo spostamento combinato. Ovviamente, questo non avrebbe senso se la freccia tradotta non continuasse a rappresentare lo stesso spostamento.
• Lesperienza con il comportamento delle forze richiede la capacità di tradurre le frecce di forza intorno, poiché in termini di forze gli oggetti si comportano come se tutta la loro massa fosse concentrata nel loro centro di gravità e tutte le forze agissero su quel punto. (Sono stato attento con la mia lingua in corsivo qui, poiché qualcosa di diverso accade quando vengono introdotte le coppie!)

Lastrazione matematica che copre tutte queste situazioni è lo spazio vettoriale. Se abbiamo bisogno di frecce che possono essere posizionate ovunque, allora imponiamo una relazione di equivalenza sullinsieme di frecce, rendendo due frecce equivalenti se sono parallele e hanno la stessa direzione. (“Stessa direzione” ha un contenuto intuitivo che è un po complicato da rendere sistematico.) Un vettore diventa quindi una classe di equivalenza di frecce, e laggiunta di vettori è definita prendendo rappresentanti di classe “convenienti” e aggiungendoli tramite la legge dalla coda alla testa o la legge del parallelogramma.

Luso delle classi di equivalenza ei loro rappresentanti non dovrebbero affatto sembrare strani; è esattamente quello che facciamo con le frazioni. Una “frazione” può essere considerata una classe di equivalenza di simboli a / b (b \ ne 0) sotto la relazione di equivalenza a / b \ equiv (na) / (nb). Quando vogliamo aggiungere due “frazioni”, radichiamo le rispettive classi di equivalenza finché non troviamo due rappresentanti con lo stesso denominatore, quindi aggiungiamo i numeratori. Laggiunta di vettore è molto simile a questa. Inoltre, con le frazioni, cè un insieme “preferito” di rappresentanti di classe, le frazioni “in termini più bassi”. Per i vettori, esiste anche una classe di rappresentanti “preferita”, i vettori le cui code sono allorigine, e questi sono quelli che vengono considerati gli elementi astratti di uno spazio vettoriale quando è in gioco lanalogia con la freccia.

Ora ci sono situazioni in cui è davvero importante dove si trovi la freccia, spostare la freccia non ha senso e le frecce situate in punti diversi non possono e non devono essere aggiunte. Ne è un esempio una mappa meteorologica con frecce che rappresentano la velocità del vento in varie località. Anche le coppie menzionate in precedenza sono un esempio; la posizione di una forza rispetto al centro di gravità è importante e la freccia della forza non può essere traslata in un altro punto senza alterare la coppia risultante. (Notare, a proposito, che le coppie stesse sono vettori che possono essere aggiunti.) Per un esempio matematico generico, il campo gradiente di un campo scalare è costituito da frecce fissate a posizioni particolari e non sono traducibili arbitrariamente.

Unosservazione elementare su questi vettori dipendenti dalla posizione è che il vettore usuale le leggi spaziali (addizione e moltiplicazione scalare) continuano a valere per tutti i vettori in una qualsiasi posizione fissa . Questo ci dice che la “soluzione” allenigma dipendente dalla posizione è posizionare un intero spazio vettoriale in ogni punto dello spazio in questione. Gli spazi risultanti sono tipicamente chiamato spazi tangenti , poiché lo spazio tangente in un punto può essere considerato linsieme di tutti i vettori di velocità per percorsi parametrizzati attraverso quel punto (assumendo una differenziabilità sufficiente per la descrizione per avere un senso).

La raccolta di tutti gli spazi tangenti è chiamata tangente bundle, e ora se devi avere un vettore dipendente dalla posizione in ogni punto del tuo spazio, hai bisogno di una mappa dallo spazio al fascio tangente che selezioni esattamente un vettore in ogni spazio tangente in punti distinti; tale mappa è chiamata sezione del pacchetto e la raccolta risultante di vettori dipendenti dalla posizione è chiamata campo vettoriale nello spazio originale.

In questo modo avremo la nostra torta e la mangeremo anche noi; i vettori non hanno “posizioni” ma gli spazi vettoriali sì.