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Loperatore Del è un modo per trovare la derivata di un vettore. Potresti avere familiarità con la ricerca della derivata per le funzioni scalari, che può essere rappresentata da qualcosa della forma
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f “(x)
dove f (x) è una funzione di x, f “(x) è la sua derivata e \ frac {d} {dx} è il termine che ci dice di prendere la derivata in primo luogo. Puoi pensare a \ frac {d} {dx} come l “operatore derivativo”, perché ti dice di prendere una derivata della cosa che è accanto.
Ora, vogliamo fare anche questo per i vettori, più spesso quelli rappresentati in coordinate cartesiane (funzioni di x, yez). Perché? Perché molti fenomeni fisici (come i campi elettrici o gravitazionali) possono essere descritti come vettori e i cambiamenti di questi fenomeni (e quindi le derivate) sono importanti.
Allora come prendiamo la derivata di un vettore ? Usiamo loperatore Del. Dato che vogliamo usarlo con i vettori, dovrà essere esso stesso un vettore. E poiché vogliamo usarlo per tutte e tre le coordinate cartesiane e non solo per x, avrà più lettere. In definitiva, loperatore Del sembra molto simile al nostro precedente “operatore derivativo”, ma con alcuni termini in più:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partial} {\ partial x } + {\ hat y} \ frac {\ partial} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial} {\ partial z}
\ nabla è ciò che chiamiamo Operatore Del, sebbene il simbolo sia ufficialmente un nabla; Onestamente mi è stato insegnato che si chiamava delta capovolto! Oltre a una semplice derivata rispetto a x, ora prendiamo anche parziale derivata rispetto a y e z. Quando prendiamo una derivata parziale, trattiamo semplicemente tutte le variabili tranne una come costanti e prendiamo la derivata rispetto alla nostra variabile scelta.
Ora, poiché ci sono due modi per moltiplicare i vettori, otteniamo naturalmente due modi per prendere una derivata vettoriale. I due modi per moltiplicare i vettori sono utilizzare il “ prodotto a punti ” e il “ prodotto incrociato ; il risultato di ogni moltiplicazione è rispettivamente un valore scalare e un valore vettoriale.
Un esempio che utilizza il prodotto scalare è calcolare la divergenza del campo elettrico:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Qui, prendiamo una derivata usando il prodotto scalare e ci rimane il valore scalare {\ rho} \_v, che è la densità di carica del volume in una regione.
Un esempio che utilizza il prodotto incrociato è nel calcolo del ricciolo del campo elettrico:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Qui prendiamo una derivata usando il prodotto incrociato e ci rimane il valore del vettore \ mathbf {B} (più specificamente, la sua derivata temporale).
Loperatore Del è utile anche al di fuori dei vettori, comunque. Se trattiamo loperatore Del solo come una somma di tre cose diverse, possiamo moltiplicarlo per una funzione scalare e quella funzione viene distribuita nellintera cosa:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x} + {\ hat y} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial z}
In questo caso, abbiamo trasformato uno scalare in un vettore! Questo è noto come prendere il “gradiente” della funzione scalare. Quello che fa è che ti dice in quale direzione la funzione sta cambiando più rapidamente. Questo è spesso usato per potenziali campi, che assumono la forma:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
dove \ mathbf {U} è unenergia potenziale (come una molla o la gravità) e F è la forza che risulta dallessere posizionati in quel campo. È ancora una derivata vettoriale, che è ciò che abbiamo descritto come prima loperatore Del, è solo che è la derivata vettoriale di uno scalare invece della derivata vettoriale di un vettore. Sì, esistono anche quelli!
E continua. Potresti aver visto il termine {\ nabla} ^ 2; questo è noto come laplaciano, ed è visto in cose come lequazione delle onde. In sostanza, utilizza solo loperatore Del due volte di seguito. Può essere espanso in altri sistemi di coordinate con più variabili o ridotto a due o una dimensione. È un concetto molto importante e viene utilizzato in quasi tutti i rami della fisica!
Risposta
Loperatore del (a volte chiamato anche nabla) è definito come segue in coordinate cartesiane :
\ nabla \ equiv \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {k}
Quanto al significato fisico?
Loperatore del agisce come lequivalente del calcolo vettoriale di una derivata spaziale. Esistono tre tipi di derivati associati alloperatore del. Supponiamo che A sia un vettore e \ phi sia uno scalare.
Il Gradiente: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ hat {k}
La Divergenza: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ partial A\_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial A\_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial A\_z} {\ partial z}
Il Curl: curl (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ partial} {\ partial x} & \ frac {\ partial} {\ partial y} & \ frac {\ partial} {\ partial z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
Ciascuno di questi tipi di derivati ha proprietà interessanti che puoi cercare su Google da solo.
Spero che questo aiuti!
Nota: Tutte queste equazioni sono diverse in altri sistemi di coordinate (ad es. Sferica, Cilindrica) . Stai attento!