Migliore risposta
Un tensore controvariante di rango 2 è simmetrico se è invariante sotto la permutazione dei suoi indici. Le sue componenti non cambiano allo scambio degli indici e soddisfano quanto segue:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
Allo stesso modo, un tensore covariante di rango 2 è simmetrico se è invariante sotto la permutazione dei suoi indici e le sue componenti soddisfano quanto segue:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
I tensori di rango 2 possono essere solitamente rappresentati da matrici , quindi la simmetria di un tensore è essenzialmente correlata alla simmetria della matrice che lo rappresenta. È noto che se le voci di una matrice simmetrica (quadrata) sono espresse come A = (a\_ {pq}), allora a\_ {pq} = a\_ {qp} per tutti gli indici pe q. La matrice simmetrica è uguale alla sua trasposizione ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Esempi di tensori simmetrici di secondo rango includono il tensore metrico g \_ {\ mu \ nu} , o il tensore dello stress di Cauchy ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}) che può essere scritto in forma di matrice come:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ end {matrix}} \ right]}
Se per esempio abbiamo un tensore di rango più alto della forma
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
il tensore è detto simmetrico in me p.
Un tensore che è simmetrico rispetto a due controvarianti qualsiasi e qualsiasi si dice che due indici covarianti siano simmetrici.
Un tensore è chiamato antisimmetrico o antisimmetrico se
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
Nel caso generale, un tensore simmetrico è un tensore invariante sotto una permutazione dei suoi argomenti vettoriali:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
per ogni permutazione σ dei simboli {1, 2, …, r }. In alternativa, un tensore simmetrico di ordine o rango r rappresentato in coordinate come una quantità con r gli indici soddisfano
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Risposta
Le matrici sono array rettangolari di elementi di un campo (di solito \ mathbb {R} o \ mathbb {C}, ma non sempre) che hanno un operazione di moltiplicazione per unaltra matrice e moltiplicazione per un elemento di campo definito.
Le matrici vengono utilizzate per rappresentare un gran numero di cose diverse:
- coefficienti di equazioni lineari
- trasformazioni lineari (dato un particolare insieme ordinato di vettori di base)
- cambio di base di spazi vettoriali (dato due insiemi ordinati di vettori di base)
- tensori (in particolare ordine 2 tensori)
- determinati gruppi
- ecc.
Alcuni di questi usi possono essere confusi: data una matrice quadrata non singolare senza contesto, è impossibile dire guardandolo se rappresenta una trasformazione lineare (o in quale base si trova), un cambiamento di base o un tensore.
In breve, le matrici sono molto generali.
I tensori sono funzionali multilineari su vettori e funzionali (vettori duali). In altre parole, un tensore di ordine n + m è una funzione su n vettori em vettori duali che restituisce un numero reale o complesso ed è lineare su tutti i suoi argomenti.
Tensori su spazi vettoriali a dimensione finita può essere rappresentato da un array n + m di elementi dal campo dello spazio vettoriale, e per i tensori di ordine 2 questo è spesso rappresentato come una matrice. Come la rappresentazione a matrice delle trasformazioni lineari, la rappresentazione in matrice multidimensionale di un tensore dipende dalla base utilizzata.
I tensori sono spesso descritti, usati e talvolta anche definito in termini di matrici multidimensionali di elementi di campo, soggetti alla restrizione di come il tensore si trasforma in relazione a cambiamenti differenziali nei vettori di base. Ma in fondo sono funzionali multilineari su vettori e funzionali lineari.