Risposta migliore
Poiché lellisse è un cerchio schiacciato, potremmo considerare un cerchio equivalente. Questa sarebbe solo unapprossimazione e non il valore esatto del perimetro dellellisse.
Sappiamo che lequazione di unellisse è:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Quando a = b = r questa diventa lequazione di un cerchio. Quindi potrei scrivere lequazione del raggio equivalente del cerchio in termini di “a” e “b”.
Prendendo invece la media di “a” e “b”, otterremmo una migliore approssimazione per prendendo la radice quadrata media di “a” e “b”.
cioè
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Quindi il perimetro approssimativo dellellisse sarebbe:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Ci sono approssimazioni molto migliori là fuori, ma penso che sarebbe sufficiente.
Spero che questo abbia aiutato.
Risposta
Proviamo se riusciamo a trovare la circonferenza di unellisse.
Unellisse con il semiasse maggiore a e il semiasse minore b hanno lequazione:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
Un grafico (qui dovremo accontentarci di dipingere, il mio software di matematica necessita di un rinnovo della licenza):
Per trovare la circonferenza dobbiamo esprimere parte di questa circonferenza \ text {d} s in funzione di \ text {d} x, \ text {d} y e si spera che arrivino a qualche espressione utilizzabile.
Se assumiamo di poter approssimare \ text {d} s con una linea retta, possiamo applicare Pitagora:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
o
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Presumo che prendiamo sempre \ text {d} x> 0, oppure ci spostiamo da sinistra a a destra lungo lasse maggiore.
Tutto ciò che resta è ad d questi piccoli contributi di lunghezza darco. Possiamo considerare x \ in [0, a] e moltiplicare per 4 perché la nostra ellisse è simmetrica sullasse x, y.
Abbiamo trovato:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Se troviamo un modo (carino) di esprimere:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
siamo in affari.
Tuttavia abbiamo già lespressione (1), che collega y a x. Tempo per calcolare (3), userò la differenziazione implicita:
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
oppure
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
o
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Dobbiamo essere in grado di scrivere usando solo x. Useremo di nuovo (1):
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Sostituisci (5) con (4):
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Sostituisci in (2):
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
Ci sono alcune opzioni per riscrivere questo integrale. Unopzione potrebbe essere quella di impostare x = az, \ text {d} x = a \ text {d} ze si arriverebbe a:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
Un metodo diverso potrebbe essere quello di utilizzare una parametrizzazione dellellisse della seguente forma:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
E questo porta a un integrale ellittico del secondo tipo, che è più o meno lapproccio standard:
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
con
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
leccentricità dellellisse.
Confrontando le espressioni (6,7) e (8), vediamo che si potrebbe preferire (8) su (6, 7). Lultima espressione non è solo più semplice nel suo parametro e, ma si comporta bene. Nellespressione (6,7) abbiamo ancora un problema quando x \ ad a, z \ a 1.
Tuttavia, non esiste unespressione in forma chiusa per il risultato. Per un cerchio abbiamo e = 0 e (8) si riduce piacevolmente a 2 \ pi a, come dovrebbe. Lo stesso vale per (6,7).