Migliore risposta
Risposta originaria: Qual è una buona stima della radice cubica di 4?
Lennesima radice di N è una radice di x ^ nN = 0. La derivata di x ^ nN è nx ^ {n-1}, quindi data una stima iniziale, x, della radice, una stima più ravvicinata usando il metodo di Newton è
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
che è la media di ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 di questi}} \ text {e} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Questa media ponderata ha senso una volta che ti rendi conto che sia x che \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} sono stime dellennesima radice di N, che sono “fuori” in direzioni opposte e che x è una stima n-1 volte migliore di \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
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Ora applichiamo il metodo …
Sia N = 4. Sia x la tua stima della radice cubica di 4. Inizia con una buona ipotesi, come x = 2. Quindi calcola
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~ per ottenere una stima migliore.
In questo caso,
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ approx 1.66666667…
Quindi, ripetere usando x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ approx 1.5911111 …
Questa è unapprossimazione che va bene per circa 3 cifre significative, quindi facciamola ancora una volta,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ circa 1,58740969614163 …
Questo va bene per circa 6 cifre significative. Ad ogni iterazione, il numero di cifre corrette raddoppia allincirca.
Risposta
A seconda di quanto sai in matematica, ci sono 2 modi possibili:
- Usa logaritmi
- Usa metodi iterativi (metodo di bisezione, metodo Newton-Raphson ecc.)
Logaritmi- Prendi x = 2 ^ {1/3}
Quindi, log (x) = 1/3 * log (2)
log (x) = 1/3 * 0,30102999 = 0,100343 (circa)
quindi, x = antilog (0,100343) = 1,2599 (circa)
Metodi iterativi- Mostrerò con il metodo di bisezione, puoi provarne altri se vuoi. (Il processo è quasi lo stesso.)
Sia x = 2 ^ {1/3}
Quindi, x ^ 3 – 2 = 0
Sia f (x) = x ^ 3 – 2
Scegliamo due valori tali che uno dia f (x) <0 e laltro dia f (x)> 0
Vediamo che f (x) <0 per x = 1 ef (x)> 0 per x = 2. Quindi, x1 = 1, x2 = 2
Ora prendiamo la media di questi valori come nuova x
Quindi, new x = (1 + 2) / 2 = 1.5
f (1.5) = 1.375> 0
Vediamo che sia 1.5 che 2 danno valori> 0, quindi scartiamo 2, poiché fornisce il valore di f (x) più lontano da 0. Manteniamo solo i valori di x che danno il valore di f (x) più vicini a 0
Quindi prendiamo x1 = 1 e x2 = 1.5
ancora una volta troviamo new x = (1 + 1.5) / 2 = 1.25
f (1.25) = -0.046875
Ora noi scartare 1 come 1.25 dà un valore di f (x) più vicino a 0
quindi prendiamo x1 = 1.25 e x2 = 1.5
Ancora una volta troviamo nuova x come media di questi 2 valori, sostituisci in f (x) per vedere il suo segno e, a seconda di ciò, prendiamo i nostri nuovi valori x1 e x2.
Ripeti questo processo finché non sei soddisfatto della tua risposta (x finale).
P.S. Questi processi non daranno mai una risposta esatta, devi fermarti su uno approssimativo.