Risposta migliore
Ci sono due modi per sapere se una matrice (e quindi il sistema di equazioni che la matrice rappresenta ) ha una soluzione univoca oppure no.
a. Metodo di Cramer.
Converti il sistema di equazioni nella forma Matrix AX = B dove A = matrice co-efficienti, X = matrice variabili e B = matrice risultati.
Assegna alla matrice Coefficienti il nome D. Per una matrice 3 x 3, sostituire la prima, la seconda e la terza colonna della matrice D con i risultati Matrice della colonna per ottenere le matrici Dx, Dy e Dz.
- Se D non è uguale a 0 e se almeno uno tra Dx, Dy e Dz non è uguale a 0, il sistema di equazioni è Consistente e ha una soluzione Univoca.
- Se D = 0 e se Dx, Dy e Dz = 0 ma se almeno uno dei Costituenti della matrice Coefficiente (aij) o almeno uno dei 2 x 2 minori non è uguale a 0, allora il sistema di equazioni è Consistente e ha infinite soluzioni.
- Se D = 0 e almeno uno tra Dx, Dy e Dz non è zero, il sistema di equazioni è incoerente (nessuna soluzione).
Pertanto, il sistema di equazioni fornisce una soluzione Univoca solo quando il valore del Determinante non è uguale a zero.
b. Metodo di classificazione
Annotare il sistema di equazioni in formato matrice AX = B dove A = matrice coefficienti, X = matrice variabili e B = matrice risultati.
Scopri il rango della matrice A.
Scrivi la matrice aumentata [A, B]
Scopri il rango della matrice aumentata [A, B]
- 1. Se il rango della matrice A non è uguale al rango della Matrice aumentata, il sistema di equazioni è incoerente e non ha soluzione.
- Se il rango di entrambe le matrici è uguale e uguale al numero di variabili sconosciute nel sistema e se la matrice A non è singolare, il sistema di equazioni è coerente e ha una soluzione Univoca.
- Se il rango di entrambe le matrici è uguale ma se il rango è minore di il numero di incognite, quindi il sistema di equazioni è coerente e ha infinite soluzioni. Quindi ci sono solo tre possibilità: incoerente e nessuna soluzione, coerente con una soluzione unica, coerente con infinite soluzioni.
Quindi il sistema produce una soluzione unica solo quando il rango della matrice dei coefficienti = Rango della matrice aumentata = Numero di incognite.
Risposta
La teoria ti dice che Ax = b ha una soluzione unica se \ det (A) \ neq0 e altrimenti non ha soluzione o infinitamente molte. La matrice si chiama singolare in questo caso
La pratica, tuttavia, ti dice che questo non accade quasi mai. Quindi ogni insieme di equazioni può essere risolto? Sì e no. Se la matrice è quasi singolare, potresti ottenere una soluzione, ma non sarà significativa. Il motivo è che piccole fluttuazioni nel lato destro possono causare enormi fluttuazioni (di diversi ordini di grandezza) nella soluzione. In tal caso, il sistema viene chiamato mal condizionato . Questa è una brutta cosa, perché nel corso dei calcoli potresti perdere cifre significative a causa della sottrazione di quantità quasi uguali ..
Come puoi dirlo? Il numero di condizione \ kappa (A) = \ | A ^ {- 1} \ | \ | A \ | è la misura teorica. Il miglior valore è 1, maggiore è il peggio. Ma non è così facile da calcolare. Un modo pratico per farlo è prendere una piccola perturbazione casuale del lato destro e confrontare le due soluzioni. Se differiscono in modo significativo, hai un sistema mal condizionato.