Come capire ∫udv = uv-∫vdu? La interpreto come una regola di prodotto inverso


Risposta migliore

Iniziamo con la regola di prodotto.

Esempio: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

Come ci sono arrivato? La regola del prodotto è: Quando y = uv, uv essendo due diverse funzioni moltiplicate insieme – in questo caso seno e coseno dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)

Quindi, nellesempio sopra, dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 o (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2

La regola del prodotto inverso è solo lopposto, come lintegrazione è il contrario / lopposto della differenziazione.

Quindi da dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) Integriamo tutto! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx

La differenziazione di y diventa dy / dx, quindi lintegrazione torna a y. Quindi, y = ∫u dv + ∫v du

Poiché sappiamo che y = uv (vedi sopra) uv = ∫u dv + ∫v du

Quindi riorganizziamo semplicemente equazione in quanto tale:

∫u dv = uv – ∫v du Done.

Neanche io lo capisco completamente, ma è meglio che posso spiegare come derivalo.

Risposta

Ecco un modo per pensarci: ∫udv si integra lungo lasse v. Calcola larea sotto la curva u verso v.

∫vdu si integra lungo lasse u. Calcola larea a sinistra della curva v, verso u.

Metti insieme i due e ottieni un quadrato: lintera area tra gli assi ue v. Larea totale è il prodotto dei due: uv. Per riassumere, ottieni:

∫v du + ∫u dv = uv

Da lì puoi facilmente derivare la formula. È anche facile da visualizzare.

Fonte: Sigma MathNet

Questa è una semplificazione eccessiva dellidea, che è più generale di questa, ma questa è una spiegazione comune (e talvolta trattata come una dimostrazione informale). Per ulteriori discussioni, vedere Spiegami questa prova senza parole di integrazione per parti .

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