Migliore risposta
Tecnicamente non è come log \, n = log\_ {10} \, n, non log\_2 \ , n.
Ma se a = b, allora log \, a = log \, b, giusto? Quindi, se n = n (cosa che ovviamente fa), allora log\_2 \, n = log\_2 \, n. Ora, come log\_2 \, 2 = 1, possiamo anche scrivere log\_2 \, n \ cdot log\_2 \, 2 = log\_2 \, n, no?
E come log \, a ^ b = b \ cdot log \, a, vediamo che log\_2 \, 2 ^ {log\_2 \, n} = log\_2 \, n. Questa è una proprietà ben nota dei logaritmi.
Ora, lultimo passaggio richiede che tu capisca che il logaritmo è una funzione monotona. Questo è fondamentale; significa che se i risultati sono gli stessi, anche gli argomenti sono gli stessi. Non funzionerebbe per es. seno… Ma per le funzioni monotone, se f (x) = f (y) allora x = y. Quindi, possiamo finalmente affermare che 2 ^ {log\_2 \, n} = n, QED.
Answer
Utilizzando la proprietà dei log dove \ log\_ {b} n ^ {m } = m \ log\_ {b} n, possiamo provare laffermazione, 2 ^ {\ log\_ {2} n} = n
La prova:
Poniamo “s listruzione originale uguale a y. y = 2 ^ {\ log\_ {2} n}
Ora possiamo applicare log in base 2 a ciascun lato. \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} 2 ^ {\ log\_ {2} n}
Utilizzando il proprietà di log precedentemente dichiarata, \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} n \ log\_ {2} 2
Log in base b di b sarà sempre uguale a 1. \ log\_ {2} y = \ log\_ {2} n
Pertanto, y = n