Migliore risposta
Il modo in cui dimostri quellidentità dipende molto da come tu pensa a seno e coseno.
Se pensi a seno e coseno come rapporti di lati di un triangolo rettangolo (come al liceo, dove insegnano il seno come opposto rispetto allipotenusa), allora ottieni un triangolo rettangolo con lati a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (questultimo dal triangolo pitagorico), e \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Se pensi al seno e al coseno come coordinate di un punto sulla circonferenza unitaria (parametrizzata dalla lunghezza dellarco del cerchio), allora in base alla definizione della circonferenza unitaria, ogni punto soddisfa x ^ 2 + y ^ 2 = 1, quindi anche il punto (\ sin \ theta, \ cos \ theta), quindi \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
Seno e coseno possono anche essere definiti come soluzioni indipendenti per lequazione differenziale f = -f, con \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Poiché ci sono solo due soluzioni indipendenti per lequazione , ed è facile vedere che f ^ {(n)} è una soluzione, deve essere il caso che \ sin x, \ sin x, \ sin x non possono essere soluzioni indipendenti. Infatti, \ sin x = – \ sin x, quindi \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, quindi \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . Da questo possiamo differenziare implicitamente \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x per ottenere 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Quindi il valore di \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x è una costante, e valutato a 0 otteniamo \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, quindi \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
Seno e coseno possono anche essere definiti dalla serie di potenze \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. Unattenta espansione di quelle serie di potenze nellespressione \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x mostrerà tutti i termini che implicano x ^ n cancel, lasciando solo il termine costante 1 come valore.
Risposta
Per riflettere su questo, dobbiamo considerare quali sono i rapporti trigonometrici. Sappiamo che il rapporto seno è uguale allangolo opposto a un lato sopra lipotenusa da un angolo, o o / h. Sappiamo anche che il rapporto del coseno è uguale al lato adiacente a un angolo sopra lipotenusa, o a / h. Successivamente, vediamo che entrambi questi rapporti sono al quadrato, il che significa che lidentità trigonometrica, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, è equivalente a (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, che è uguale a o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2. Poiché abbiamo un denominatore comune, possiamo combinare queste due equazioni per ottenere, (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2. Possiamo quindi guardare questo e renderci conto che stiamo definendo tutti i lati di un triangolo. Sappiamo dal teorema di Pitagora che, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Possiamo vedere che poiché ciascuno di questi valori di o, a e h sono tutti i diversi lati di un triangolo, sono uguali ad a, bec. Il valore di c nel teorema di Pitagora è lipotenusa di un triangolo rettangolo, quindi sappiamo che h = c. Ciò significa che aeb sono uguali a oe a. Non importa quale lettera è assegnata poiché i risultati non cambieranno. Possiamo quindi vedere che attraverso il teorema di Pitagora, sappiamo che a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, che porta a o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2. Ciò significa che possiamo sostituire il numeratore della nostra precedente equazione, rendendolo equivalente a (h ^ 2) / (h ^ 2). Infine, sappiamo che ogni variabile divisa per se stessa è uguale a 1, quindi questa equazione è uguale a 1. Se torniamo allequazione originale, abbiamo dimostrato che sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.