Migliore risposta
Per dimostrarlo, usa la formula di sottrazione seno.
cioè, sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Qui a = π eb = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Quindi dimostrato
Risposta
Prova 1:
Il modo più semplice per dimostrare
cos (π / 2 – x) = sin x
è mettere A = π / 2, B = x nella formula trigonometrica
cos (AB) = cos A. cos B + sin A. sin B ………………………………. (1)
e ottieni
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
Sostituendo cos π / 2 = 0 e sin π / 2 = 1 in (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (provato)
Prova 2:
Sia ABC un triangolo rettangolo in B. Sia AB la base e AC lipotenusa. Se indichiamo langolo C con x, langolo di base A = (π / 2 – x) in modo che A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π o 180 °.
Ora per langolo di base A, BC è la perpendicolare.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = base / ipotenusa = AB / AC ………… .. (3 )
Per langolo C, AB è la perpendicolare e quindi
sin C = sin x = perpendicolare / ipotenusa = AB / AC ……………. (4)
Equando (3) e (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (dimostrato)
Prova 3:
Usa la formula di Eulero
eⁱᶿ = cos θ + io sin θ
che definisce il simbolo eⁱᶿ per qualsiasi valore reale di θ. Qui i = √-1.
∴ Possiamo mettere θ = (π / 2 – x) nella formula e scrivere
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Oppure, e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Ora e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i ed e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Oppure, i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Poiché i² = -1]
Uguagliando le parti reale e immaginaria,
cos (π / 2 – x) = sin x (dimostrato)
e cos x = sin (π / 2 – x)
Osservazioni conclusive:
Dei tre metodi presentati qui per provare lasserzione data, il metodo preferito dovrebbe essere la Prova 1. Questo perché è semplice, diretto e veloce. Può essere fatto mentalmente da uno studente medio in circa 30 secondi. Nella Prova 2, cè spazio per confusione su quale sia la base, che è la perpendicolare destra da prendere. Inoltre è necessario dedicare più tempo per disegnare un triangolo, segnare i lati, gli angoli, ecc. La prova 3 va bene; ma non molti sono a proprio agio o bravi a lavorare con funzioni complesse. Il metodo richiede più algebra rispetto agli altri metodi; ma fornisce un bonus, ovvero: dimostra la formula cos x = sin (π / 2 – x).