Migliore risposta
Lespressione nel post la domanda non è del tutto corretta.
Il teorema binomiale
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
vale per tutti i numeri complessi x e y e numeri interi non negativi n .
Siano x = 1 e y = -1. Quindi, sul lato destro, avrai le differenze alternate desiderate e le somme di combinazioni (ciò che hai definito scegli s). Sul lato sinistro hai 0 ^ n, che apparentemente stai assumendo essere 0. Tuttavia, il teorema binomiale, come detto sopra, si applica a tutti interi non negativi n , che include 0, nel qual caso il lato sinistro è 0 ^ 0 = 1, un caso non consentito.
Se non mi credi, prova questo banale esercizio: scrivi le prime righe del triangolo di Pascal. La formula “scegli” nella domanda pubblicata equivale a selezionare una riga qualsiasi e, partendo dallelemento più a sinistra (che è sempre 1, indipendentemente dalla riga scelta), quindi sottrarre lelemento successivo a destra e continuare ad aggiungere e sottrarre alternativamente tutti gli elementi di quella riga. Si noti che con la riga contenente 1 1 e la riga contenente 1 2 1 e la riga contenente 1 3 3 1 restituiscono tutte 0 con questo processo. Cosa succede, però, nella riga in alto che ne contiene solo 1? Iniziamo con quell1 e ci prepariamo a sottrarre lelemento successivo, ma non cè lelemento successivo quindi abbiamo già finito con un risultato di 1, non 0. Non è assolutamente necessario escludere la riga superiore dal concetto che le differenze alternate e somme restituisce 0 ^ n per tutte le righe.
Se sei uno di quelli che ha un problema di 0 ^ 0 = 1, devi davvero superare quel blocco, almeno nel contesto di esponenti interi. Se consideri 0 ^ 0 indefinito, butta via altrettanto bene il teorema binomiale e la dimostrazione precedente, perché non potresti usare il teorema binomiale per valutare (0 + y) ^ {n} e (x + 0) ^ { n}, indipendentemente dal valore di n , perché lultimo termine nellespansione binomiale per il primo potere e il primo termine nellespansione binomiale per il secondo potere entrambi implicano 0 ^ 0, quindi dovresti chiamare quella somma indefinita e aggiungere lesclusione altrimenti totalmente inutile e sciocca che il teorema binomiale non si applica a x = 0 e per y = 0. Inoltre violeresti la regola del prodotto vuoto, che indica che il prodotto di nessun fattore deve essere lelemento di identità moltiplicativo , 1. La relazione 0! = 1 è importante anche per il teorema binomiale, così come per molti altri posti, ma con 0! si sta moltiplicando insieme nessun fattore a partire da 1, quindi è un prodotto vuoto, ed è in definitiva la regola del prodotto vuoto che ci dice che 0! = 1. La stessa regola del prodotto vuoto ci dice che x ^ 0 = 1 per tutti i numeri complessi x e il valore di x non interessa la regola del prodotto vuoto, quindi sì, x = 0 si applica allo stesso modo di qualsiasi altro valore di x : nessun caso di eccezione giustificato in alcun modo.
Ci sono numerose altre ragioni per considerare 0 ^ 0 = 1 almeno nel contesto di esponenti interi: la definizione formulaica di polinomi e serie di potenze usando la notazione ∑ e la manipolazione di tali polinomi e serie di potenze, vari problemi combinatori e altri. Non esiste una logica valida per considerare 0 ^ 0 ha un valore diverso da 1 o per considerarlo indefinito, almeno nel contesto di esponenti interi.
Alcuni di voi potrebbero essere un po angosciati me lo scrivo perché viola tutto ciò che ti è stato insegnato – forse così tanta angoscia che hai difficoltà anche a contemplare la possibile validità di ciò che ho scritto, e stai per scrivere un commento di risposta per dirmi dove sbaglio. Per impedirti di sembrare sciocco con commenti errati, andrò avanti e parlerò di ciò che mi aspetto sarebbe arrivato:
- “Il mio libro di testo e il mio insegnante hanno detto che 0 ^ 0 è indefinito e potrebbero non essere sbagliato. ” Odio doverlo dire a te e far scoppiare la tua bolla riguardo ai tuoi insegnanti e libri di testo, ma ci sono molti argomenti nei libri di testo di matematica della scuola secondaria (e altre materie) che sono troppo semplificati al punto da essere errati. I miei commenti qui non sono intesi come una denuncia degli insegnanti di matematica della scuola secondaria: hanno un compito impegnativo e la maggior parte vuole davvero fare un ottimo lavoro e aiutare gli studenti a progredire.La maggior parte degli insegnanti di matematica della scuola secondaria non si è laureata in matematica durante gli studi universitari, la maggior parte si è laureata in istruzione con una specializzazione in matematica. Imparano come pensano i diversi studenti, come spiegare i diversi punti in una varietà di modi, come trovare e diagnosticare i problemi che gli studenti stanno avendo con il materiale e altre cose molto preziose non direttamente correlate alla matematica. Trascorrono del tempo in classi finte, così come in aule reali sotto locchio guida dellinsegnante vero, per fare pratica. Ricevono una revisione approfondita della matematica che anticiperebbero linsegnamento, il che significa a livello di scuola secondaria. Prenderanno alcuni corsi di matematica a livello universitario nel loro programma, ma neanche lontanamente così tanti o avanzati come quelli che prenderebbe una laurea in matematica. Le major di matematica non fanno nulla di tutto ciò, ma nei loro corsi più avanzati ottengono maggiore esposizione a ciò che fanno i matematici professionisti reali, dal vivo, e la maggior parte degli insegnanti di matematica non ottiene tale visibilità – non si rendono conto di come i matematici definiscano effettivamente cose come numeri naturali e numeri interi, esposizione limitata ai matematici che usano i radianti invece dei gradi per le misure angolari (e la mancanza del simbolo di unità per gli angoli implica radianti, non gradi), non averlo immerso in quello che i matematici professionisti considerano come lordine appropriato delle operazioni (e, no , non è PEMDAS, BODMAS, …), ecc. I tuoi insegnanti di matematica insegnano ciò che il libro dice di insegnare e non sono consapevoli che ti stanno insegnando cose contrarie a ciò che fanno i matematici professionisti.
- Leggi di divisione degli esponenti: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, che è indefinito, quindi 0 ^ 0 deve essere indefinito poiché sono uguali. È stato eseguito un passaggio non valido al secondo =. Una delle leggi di divisione degli esponenti è b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, ma ha alcune restrizioni per poter essere utilizzata. Uno di questi è che lapplicazione della legge non deve mai generare unespressione che implichi un reciproco di 0 o una divisione per 0. Pertanto, luso di questa legge è vietato quando b = 0, perché genera sciocchezze, e queste sono le sciocchezze che vuoi utilizzare per “provare” il tuo punto di vista. Scusa, ma per dimostrare un punto, non puoi usare qualcosa che è così assurdo da non essere valido. I passaggi non validi costituiscono una prova fallita. Inoltre, scrivere cose come a = b = c dove c non è definito non è valido – a e b potrebbe o non potrebbe essere valido. Le equazioni non devono essere utilizzate quando almeno uno dei lati è indefinito o comunque non valido. Ti è vietato concludere anche che 1/0 = 1/0, perché entrambi i lati sono indefiniti, quindi non puoi dire che sono uguali – come potresti sapere che due cose sono uguali quando non hai nemmeno idea di cosa queste due cose significa (e non puoi avere idea perché non hanno una definizione).
- “0 ^ 0 è una forma indeterminata, quindi non può avere un valore, lo dice il mio libro di testo di calcolo.” Il concetto di forme indeterminate è molto reale e utile purché lo si mantenga nel contesto previsto. Le forme indeterminate si applicano esclusivamente nel contesto dei limiti: non è possibile guardare a quella forma e determinare se esiste un limite e, in caso affermativo, qual è il valore limitante. Scrivendo 0 ^ 0 si fa riferimento a qual è il valore di f (x, y) = x ^ y in (x, y) = (0, 0) – non qual è il limite in quanto x e y si avvicinano a 0 indipendentemente. Potrebbe esistere un limite ma la funzione non è definita lì; una funzione potrebbe essere definita lì ma il limite non esiste. I due concetti non hanno nulla a che fare luno con laltro, tranne quando uno o entrambi (valore di definizione e valore limite) falliscono, la funzione non è continua in quel punto. Dire che un limite sta assumendo una forma 0 ^ 0 significa che non puoi dire da quella sola informazione se il limite esiste e qual è il suo valore. Questo fatto non ha nulla a che fare con se 0 ^ 0 = 1 o se non è definito. Dire 0 ^ 0 = 1 non significa che un limite che assume la forma 0 ^ 0 deve avere valore 1.
- 0 ^ y = 0 per tutti i y e x ^ 0 = 1 per tutti i x diversi da zero. (Molte persone che utilizzano questo argomento dimenticano che y non deve essere negativo e tratta i due casi come simmetrici.) Se sostituisci 0 per entrambi x e y , in un caso 0 ^ 0 = 0 e nellaltro 0 ^ 0 = 1: una contraddizione , quindi non può essere definito. Bene vediamo. Ci sono due numeri il cui quadrato è 9: +3 e −3; quindi, la radice quadrata di 9 è +3 ma la radice quadrata di 9 è −3. Oh, abbiamo una contraddizione, quindi non deve esistere la radice quadrata di 9: deve essere indefinita.No, +3 è una risposta più utile di −3, quindi definiamo √9 = 3. Il fatto che x ^ 0 = 1 non solo per tutti i x ma anche per tutti i complessi diversi da zero x e anche tutti i quaternioni diversi da zero x ; daltra parte, 0 ^ y funziona in modo diretto solo per x positivo reale, non reale negativo, non immaginario, quindi non ha più senso andare con la definizione che ha un solo buco invece di considerare seriamente unopzione che ha un numero innumerevole di buchi ? Il risultato di 1 è molto, molto, molto più utile di 0 per 0 ^ 0. Se siamo disposti a chiamare la radice quadrata di 9 come +3 quando cè molta meno ragione per la preferenza, quanto più lo chiamiamo 0 ^ 0 = 1, quando cè una ragione molto forte per la preferenza. La regola del prodotto vuoto impone la scelta di 1 e non di 0. Molte applicazioni pratiche ritengono che 1 sia un risultato estremamente utile, mentre 0 o undefined sarebbero risultati problematici. Nessuna applicazione significativa ha 0 come risultato utile, quindi scegliamo 1.
Risposta
\ text {Secondo il teorema binomiale}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ text {Sostituendo a = 1 ex con – 1}
(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ implies 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}