Migliore risposta
Userei lidentità \ cos 2x \ equiv 1-2 \ sin ^ 2 x o
\ sin ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1- \ cos 2x).
Quindi \ sin ^ 4 x \ equiv (\ sin ^ 2 x) ^ 2 \ equiv \ left (\ frac {1} {2} (1- \ cos 2x) \ right) ^ 2 \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x).
Ora usa lidentità \ cos 2x \ equiv 2 \ cos ^ 2 x – 1, o
\ cos ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2x).
Quindi otteniamo
\ sin ^ 4 x \ equiv \ frac { 1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x) \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + \ frac {1} {2} (1+ \ cos 4x )) \ equiv \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ cos 4x \ sin ^ 4 x \ equiv \ frac {1} {8} \ cos 4x – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {3} {8}.
Risposta
Questo esercizio suggerisce di utilizzare formule a metà angolo per produrre nuove espressioni di grado inferiore. È difficile vederlo senza contesto, quindi tieni presente che questi problemi possono sempre essere risolti con formule a metà angolo.
Quindi, possiamo rompere lespressione originale nel prodotto di due (sin x) ^ 2 termini e procedere a utilizzare la seconda formula nellimmagine che ho allegato.
Moltiplica ed espandi per ottenere
1/4 (1 – 2cos2x + (cos 2x) ^ 2)
Oh no! Sembra che non abbiamo finito! Beh, non preoccuparti, dai unocchiata alla prima formula sulla mia foto allegata e sostituisci il termine al quadrato con lespressione. Nota che iniziamo con un 2x e dobbiamo raddoppiarlo a 4x invece di esattamente ciò che è scritto nella formula. Quindi, sostituisci e restituisci:
1/4 (1- 2cos2x + 1/2 (1 + cos4x))
Quindi prendi un denominatore comune e spostalo fuori con 1 / 4, ottenendo un 1/8 allesterno.
1/8 (2- 4cos2x + 1 + cos4x)
Combina termini simili per la nostra risposta finale
1/8 (cos 4x – 4cos2x + 3)
Domanda eccellente!