Migliore risposta
Come risolvo tan theta = -2?
Bene, per questo, iniziamo utilizzando la funzione arctan , che è linverso di tangent e trova un valore \ theta tale che \ tan (\ theta) = -2.
Possiamo calcolare il valore, ma questo è un complesso “procedura che coinvolge numeri” immaginari “. Questo sembra un sacco di problemi, quindi usare un set di tabelle sarebbe più facile, anche se forse leggermente meno preciso. Anche se ho un vecchio set nel loft dei miei genitori, al momento non mi serve, quindi cerchiamo alcuni tavoli su Internet. Aspetta, se ho accesso a Internet, perché non vedere se Internet può eseguire i calcoli per me?
Bene, queste approssimazioni sono probabilmente più accurate di cui abbiamo bisogno, ma per ora le seguiremo.
Forse non ti piace lidea degli angoli negativi? Non preoccuparti, è facile convertirli in angoli positivi aggiungendo 2π radianti / 360 °.
Quindi abbiamo 5,17603659 radianti / 296,5650512 °
Ma non abbiamo finito !
La funzione arctan “restituisce” solo angoli nellintervallo esclusivo (-0,5 \ pi, 0,5 \ pi), ovvero (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Quindi, ci sono altri angoli il cui valore di tangente è -2?
Innanzitutto, tangente fornisce un valore negativo quando langolo si trova nel secondo e nel quarto quadrante, ovvero quando gli angoli sono negli intervalli esclusivi (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) e (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). Abbiamo già la soluzione nel quarto quadrante, quindi qual è la soluzione nel secondo quadrante? È est, basta prendere π radianti / 180 ° dalla soluzione nel quarto quadrante.
Perché? Bene, dalla formula dellangolo composto per la funzione tangente , abbiamo:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – come \ tan (\ pi) = 0
Questo ci dà la nostra seconda soluzione, 2.03444393 radianti / 116.5650512 °
Secondo, la funzione tangente è periodica, con un periodo di 2π radianti / 360 °; questo significa che laggiunta di un qualsiasi multiplo di 2π radianti / 360 ° al nostro angolo restituirà lo stesso valore di tangente .
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – come \ tan (2 \ pi) = 0
Quindi, usando k per rappresentare qualsiasi numero intero, il nostro set completo di soluzioni è:
(2.03444393 + k \ pi) \ radians o (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Risposta
Ricorda che sec (theta) = 1 / (cos (theta). Quindi hai
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, che è unequazione quadratica in cos (theta). Le due radici di questa equazione sono (3 + – sqrt (5)) / 2 che in realtà sono 1 + – phi, dove phi è la famosa “sezione aurea” e sono le radici del quadratico x ^ 2 – x – 1.
Poiché phi è una radice, dividendo questa equazione per phi ^ 2 si mostra che laltra radice è -1 / phi. E poiché phi + 1 = phi ^ 2, abbiamo che le radici dellequazione originale sono phi ^ 2 e 1 / phi ^ 2. Dato che il coseno deve essere 1, dobbiamo usare la radice più piccola .
Consideriamo ora lantica serie di Fibonacci 0, 1,1, 2, 3, 5, 8 in cui il (n + 1) esimo termine è la somma dellennesimo e (n -1) esimo termine. Si scopre che phi e la sua radice coniugata sono strettamente correlati a questa serie. Il modo in cui questo si applica qui è questo:
Se lennesimo termine di Fibonacci è F (n), allora phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (La dimostrazione è uninduzione su n, usando la definizione di Fibonacci F (n + 1) = F (n) + F (n-1) nellultimo passaggio.) Vuoi mostrare quindi che phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. Il 6 ° e il 7 ° F sono 5 e 8. Quindi devi valutare
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – sqrt (5)) / 2). Se moltiplichi questo valore e razionalizzi il secondo termine ottieni 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED