Migliore risposta
Ecco come mi avvicinerei trovando una soluzione approssimativa:
Il valore di x deve essere nellintervallo [-1,1] come al di fuori dellintervallo x ^ 2> 1 che è al di fuori dellintervallo di \ sin {x}. Può essere ulteriormente vincolato allintervallo [0,1] come quando -1 \ le x , \ sin {x} 0. Nellintervallo [0,1] esiste una soluzione banale per x = 0.
Per x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } mentre x ^ 2 \ sin {x}, deve esistere almeno una soluzione nellintervallo (0,1]. Inoltre, su questo intervallo \ sin {x} ha una derivata seconda negativa, mentre x ^ 2 ha una derivata seconda positiva, quindi cè al massimo una soluzione nellintervallo (0,1]. Una volta che la curva di x ^ 2 supera quella di \ sin {x}, non può tornare indietro.
Quindi cè esattamente una soluzione in (0,1]. Per stimare quella soluzione usa i primi due termini della serie di Taylor per la funzione seno per ottenere x- \ frac {x ^ 3} {6} = x ^ 2. Questo si riduce a x ^ 2 + 6x-6 = 0 o x = \ sqrt {15} -3 come soluzione approssimativa. A sei cifre decimali, \ sqrt {15} -3 \ circa 0,872983.
In confronto, unapprossimazione numerica fornisce la soluzione a sei cifre decimali come x = 0,876726. Quindi la nostra approssimazione utilizzando solo due termini della serie di Taylor era abbastanza vicina, ma non perfetta.
Risposta
Per una domanda come questa è generalmente una buona idea rappresentare graficamente le funzioni per avere unidea di come si comportano. Supponiamo che tu voglia risposte in numeri reali.
Possiamo aggiungere 2x su entrambi i lati e poi dividere per 2 per ottenere x = 1.3 \ sin (x). La funzione seno è limitata tra -1 e 1, quindi dobbiamo solo occuparci dei valori di x compresi tra -1,3 e 1,3. Il grafico y = x è solo una linea retta. Il grafico y = 1.3 \ sin (x) è inclinato verso lalto tra -1.3 e 1.3, perché 1.3 è minore di un angolo retto e il seno aumenta da – \ pi / 2 a \ pi / 2.
Se conosci qualche calcolo, sai che la velocità con cui 1.3 \ sin (x) aumenta è data da 1.3 \ cos (x). Questo tasso di cambiamento aumenta e poi diminuisce di nuovo (che è chiamato punto di flesso). Il grafico di y = 1.3 \ sin (x) è concavo da -1,3 a 0 e poi concavo da 0 a 1,3. È relativamente facile individuare che x = 0 è una soluzione. Poiché la pendenza di y = 1.3 \ sin (x) è maggiore della pendenza di y = x in quel punto, incrocia da sotto a sopra. A questo punto ho deciso di calcolare il valore di 1.3 \ sin (1.3). Ricorda ovviamente che la funzione seno si applica agli angoli espressi in radianti. È inferiore a 1.3.
A questo punto potresti dedurre la natura della situazione. Le due funzioni si incrociano tre volte da -1,3 a 1,3. Chiama la soluzione positiva c. A causa della simmatria (1.3 \ sin (-c) = – 1.3 \ sin (c) = 2 (-c)) la soluzione negativa è -c. La concavità di 1.3 \ sin (x) impedisce che ci siano altre soluzioni. Quindi non resta che capire cosè c.
La cosa che alcuni studenti trovano strana è che spesso non esiste una “forma chiusa” per la soluzione di unequazione come questa. Possiamo dire che esiste una soluzione tra 0 e 1.3 ma credo che in questo caso non abbiamo una formula per essa in termini di funzioni familiari. Quindi, se vuoi affrontarlo, devi decidere cosa devi sapere al riguardo.
Se vuoi calcolarlo con una certa precisione, ci sono alcuni metodi. Cè un approccio ingenuo che funziona in questo caso. Se prendi un valore di x compreso tra 0 e 1.3, se è minore della soluzione allora 1.3 \ sin (x) è maggiore, e se è maggiore della soluzione allora 1.3 \ sin (x) è minore. Quindi se continui a sostituire il tuo valore di x con 1.3 \ sin (x) si avvicina alla radice. Quindi diciamo che inizio con x = 1.0. Allora 1.3 \ sin (1) = 1.9039 … quindi usalo come valore di x successivo. Questo processo converge sulla soluzione, anche se non molto rapidamente perché ogni passaggio porta il valore solo un po più vicino alla soluzione.
Un secondo metodo consiste nel suddividere lintervallo. Quindi potremmo provare a valutare 1.3 \ sin (1.1) e 1.3 \ sin (1.2) per ottenere il primo decimale della soluzione. Poiché 1.3 \ sin (1.1) 1.2 sembra che la radice sia compresa tra 1.1 e 1.2. Quindi possiamo provare 1.3 \ sin (1.15) per vedere se la soluzione è minore o maggiore di 1.15. Anche questo metodo non converge così rapidamente, sebbene funzioni bene in alcune situazioni in cui il primo metodo non lo fa.
Esistono altri metodi ( Root- algoritmo di ricerca – Wikipedia ) in particolare il metodo secante e il metodo di Newton. Convergono più rapidamente.
Il metodo secante mantiene due approssimazioni su entrambi i lati, ad esempio 1.1 e 1.2. Quindi fingiamo che i grafici siano entrambe linee rette per ottenere una soluzione approssimativa. Il calcolo non è così semplice, sebbene non sia realmente coinvolto.
Literazione di Newton ti fa disegnare una linea tangente alla curva per approssimare il punto in cui le due curve si incrociano, quindi ripetere. Se inizi con un valore abbastanza vicino alla radice, generalmente converge abbastanza rapidamente.Il numero di cifre di precisione generalmente raddoppia ad ogni passaggio (anche se sembra improbabile che qualcuno voglia molte cifre di precisione alla radice).