Migliore risposta
A2A.
Il valore di tan40 ° non può essere trovato utilizzando la somma trigonometrica standard, formule di differenza o sottomultipli. Tuttavia, se ti senti a tuo agio nella risoluzione di equazioni cubiche, questo metodo potrebbe tornare utile—
Lo sappiamo,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
Sostituendo x come 40 ° in questa equazione—
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
Scrivendo tan40 ° come y—
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120 ° è un valore standard ed è uguale a – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
Risolvendo questa equazione, si ottengono tre valori da cui il valore positivo produce tan 40 °.
Quindi approssimativamente, tan 40 ° = 0,8394.
Risposta
Qual è il valore di \ tan 40 ^ o?
Possiamo trovare il valore di \ tan 40 ^ o a qualsiasi livello di accuratezza desiderato usando la serie di Taylor di \ tan x.
La serie di Taylor di una funzione a valori reali o complessi f (x) che è infinitamente differenziabile in un punto reale o complesso a è data da ,
f (x) = f (a) + \ frac {f “(a)} {1!} (xa) + \ frac {f” “(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f “” “(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Questo può essere scritto in modo compatto come f (x) = \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad dove f ^ {(n)} (a) denota la derivata n ^ {th} di f (x) in x = a.
Si può notare che in caso di funzioni trigonometriche, langolo dovrebbe essere espresso in radianti e non in gradi.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ destra) = \ tan \ sinistra (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ right) = \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right).
Prendendo x = \ frac {2 \ pi} {9} e a = \ frac {\ pi} {4}, abbiamo (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
In a = \ frac {\ pi} {4}, \ tan x è infinitamente differenziabile.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f “(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f” (a) = f “\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f” “(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “” (a) = f “” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f “” “(x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “” “(a) = f” “” \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 3 \ approx 0.83892575.
Il valore di \ tan (40 ^ o) come dato da Excel è 0,83909963.
Si può vedere che anche con solo 4 termini di questa serie infinita, lerrore è solo 0,0272 \\%.
Se maggiore precisione è necessario possiamo prendere ulteriori termini della serie infinita.