Migliore risposta
Sì, è il problema di Monty Hall sotto mentite spoglie. “Cambiare” in quel problema è solo un modo per sottolineare che una probabilità è diversa dallaltra. In quel problema, avresti preferito avere la porta che lospite avrebbe potuto aprire, ma non lha fatto. Qui, preferiresti essere il prigioniero che il direttore avrebbe potuto nominare, ma non lo fece. Stessa cosa.
A è sbagliato. Pensa di aver appreso solo informazioni su B e niente su A o C. Ma ha imparato qualcosa su C: il direttore avrebbe potuto chiamarlo, ma non lha fatto t. A causa del lancio della moneta, il 50\% delle volte in cui A sarebbe stato graziato, il guardiano avrebbe chiamato C. Ma avrebbe nominato B il 100\% delle volte in cui C sarebbe stato perdonato. Questo rapporto – dal 50\% al 100\% – è ciò che rende ora il doppio delle probabilità che C venga perdonato.
A parte la storia: il problema che hai citato era pubblicato originariamente nel numero di ottobre (credo) 1959 di Scientific American da Martin Gardner. Nello stesso numero, si è scusato per aver ricevuto la risposta sbagliata a questa domanda:
- Mr. Smith ha due figli. Almeno uno di loro è un ragazzo. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?
Inizialmente aveva detto che la risposta era 1/3. Ma la domanda presentata è ambigua; dipende da come hai appreso che almeno un bambino era un maschio.
Se è stato perché hai chiesto “Almeno uno è un ragazzo? “, quindi 1/3 è corretto. Ma se fosse solo un fatto casuale che hai appreso, nel senso che avresti potuto anche imparare “almeno una è una ragazza”, la risposta è 1/2.
E in effetti, il Problema dei Due Bambini è solo una variante del Problema dei Tre Prigionieri con quattro prigionieri invece di tre, o il Problema della Monty Hall con quattro porte. Gardner ha posto i tre prigionieri per chiarire come funzionano questi problemi e ha incluso la parte relativa al lancio della moneta in particolare per mostrare come è il processo mediante il quale hai ottenuto le informazioni, non solo le informazioni, a determinare la risposta.
Risposta
Il problema dei tre prigionieri può essere compreso più facilmente se ci atteniamo a probabilità condizionali piuttosto che a probabilità a posteriori.
Quindi tre prigionieri A, B, C sono nel braccio della morte e uno di loro è stato graziato in base a un gioco di fortuna. Il prigioniero A chiede al direttore di rivelare almeno il nome di uno degli altri prigionieri, che non ha ricevuto la grazia.
Facendo questa domanda, A ha creato due gruppi.
- Gruppo I – Coinvolgere solo A.
- Gruppo II – Coinvolgere B e C.
In corrispondenza di questi due gruppi ci sono due eventi:
- Qualcuno del Gruppo I è graziato. (A solo).
- Qualcuno del Gruppo II è graziato (B o C).
Poiché entrambi questi eventi sono equiprobabili, le probabilità di entrambi gli eventi sono \ frac {1} {2}. Allinterno del secondo gruppo, le probabilità che B o C vengano scelti sono di nuovo \ frac {1} {2}.
Il direttore ora nomina B come il prigioniero che non ha ricevuto la grazia.
Dato che il direttore non ha detto nulla sul prigioniero C, ciò significa che la probabilità del secondo evento (qualcuno che viene perdonato dal gruppo che coinvolge B e C) è sempre la stessa – \ frac {1} {2}.
Ma da quando B è stato eliminato, ciò significa che la probabilità che C venga perdonato dal Gruppo II, è ora aumentata da \ frac {1} {2} a 1 !!! Quella è la sua possibilità di ottenere la grazia è raddoppiata !!!
Daltra parte, per lo stesso ragionamento, poiché il direttore non ha detto nulla sul prigioniero A, la probabilità del primo evento (qualcuno è stato graziato da il primo gruppo) è sempre lo stesso – \ frac {1} {2}.
Quindi la domanda del prigioniero A non fornisce ad A nessuna nuova informazione sul suo destino. Daltra parte, il prigioniero C (al quale A ha fornito queste informazioni), ora sa che le sue possibilità di ottenere la grazia sono raddoppiate.
Questo è tutto ciò che devi sapere per capire lessenza dei Tre Prigionieri Problema. Se invece vuoi verificare la tua intuizione utilizzando la formula di Bayes. Puoi farlo come mostrato di seguito:
Formulazione di Bayes del problema dei tre prigionieri
Siano A, B e C gli eventi corrispondenti rispettivamente ai prigionieri A, B e C che vengono liberati.E sia b levento in cui il guardiano dice ad A che il prigioniero B deve essere giustiziato, quindi, usando il teorema di Bayes, la probabilità a posteriori che A venga perdonato è:
P (A | b) = \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
La probabilità di C essere graziato, invece, è:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac23
Quindi la probabilità a posteriori che A venga perdonato rimane la stessa probabilità di apriori (\ frac {1} {3}), mentre quella di C che sia perdonato è raddoppiata.
Puoi vedere leffetto delle probabilità condizionali sulle probabilità a posteriori nel termine P (b | A) (\ frac {1} {2}) e P (C | b) (1).