Risposta migliore
Un numero complesso è un numero in due parti. Ha una parte reale e una parte immaginaria. Tendiamo a scriverlo nella forma,
a + bi, dove i è la radice quadrata di uno negativo, cioè, (-1) ^ (1/2)
Nel frattempo , il quadrato di un numero è il numero moltiplicato per se stesso. Ciò significa che
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
Abbiamo riscontrato qualcosa di simile a questo quando abbiamo considerato i fattori delle equazioni quadratiche. Esiste un approccio sistematico per espandere il prodotto di due fattori in due parti. Potresti aver incontrato lacronimo “FOIL”:
- Moltiplica i due F primi termini
- Moltiplica i due O termini uteri
- Moltiplica i due I termini nner
- Moltiplica i due L termini precedenti
Somma i quattro termini per la risposta
Applica lo stesso approccio FOIL , con (a + bi) * (a + bi), ottenendo
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
Possiamo riorganizzare un po . I due termini centrali sono gli stessi, quindi possiamo elencarli una volta, ma moltiplicati per due.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
E ora, lo faremo guarda lultimo termine e renditi conto che il quadrato di un prodotto può essere scritto come il prodotto dei quadrati separati. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
Applichiamo questa regola:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
Ma “i” è la radice quadrata di -1. Il quadrato della radice quadrata di un numero è il numero stesso. Quindi (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
Inseriamolo.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Questultimo termine è ancora brutto. Possiamo spostare i “tempi negativi) dallaltra parte e riscrivere lintero termine come sottrazione.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
Ma guardando il espressione, non seguiamo il formato di una parte reale seguita da una parte immaginaria. Abbiamo una parte reale, una parte immaginaria e unaltra parte reale. Raggruppiamo insieme le parti reali.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Risposta
Innanzitutto, pensa a un numero complesso, a + bi come a una coppia ordinata (a, b ). Nel PIANO COMPLESSO con un ASSE REALE orizzontale dove normalmente si trova lasse x e un ASSE IMMAGINARIO verticale dove normalmente si trova lasse y, tracciate il punto (a, b) in modo normale. Ora, la distanza dallorigine al punto (a, b), credo si chiami MODULUS del numero complesso, chiamiamolo r.
Sappiamo che r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) dal teorema di PITAGORE. (Mi dispiace per la notazione ma sono limitato con quello.)
Inoltre, langolo tra lasse reale positivo e la linea dallorigine a (a, b) chiameremo Theta (usiamo T per questo). (Si chiama ARGOMENTO del numero complesso)
Ora. Il numero complesso a + bi può essere scritto in FORMA POLARE come
a + bi = r (Cos T + iSin T) da
a = r CosT e. b = r Sin T
Per prendere la radice quadrata di a + bi, usa la forma polare.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Quindi, per fare questo semplice, basta guardare il grafico del numero complesso a + bi, con una linea dallorigine a (a, b). Ora ruota la linea a metà dellasse x, e accorciala alla radice quadrata finché era. La coordinata di quel punto finale è la radice quadrata del numero complesso La radice quadrata è a soli 180 gradi da lì.
Per dimostrarlo, prendiamo la radice quadrata di Z = -4
Il grafico è un punto sullasse reale negativo , 4 unità a sinistra dellorigine. Langolo T = 180 gradi.
per prendere la radice quadrata di -4, basta ruotare la linea indietro di 90 gradi (metà di 180) e accorciarla a 2 la radice quadrata di 4. Finiamo 2 unità sullasse immaginario. Quindi una radice quadrata di -4 è 2i. E laltra radice quadrata è -2i, a 180 gradi di distanza.
Nei simboli:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
e 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
Per ottenere la radice quadrata di (i)
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= radicale 2 su 2 + (i) radicale 2 su 2.