Risposta migliore
Inizia osservando che sin 35 ° è vicino a sin 30 ° = 1/2. Quindi sappiamo immediatamente che è circa 1/2. Ciò rientra nel 7\% circa del valore effettivo.
Proviamo a ottenere una stima migliore. In base allidentità delladdizione dellangolo,
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Ora, poiché 5 ° = π / 36 è un angolo relativamente piccolo, possiamo usare le approssimazioni sin x ≈ x e cos x ≈ 1. Quindi
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Ora π ≈ 22/7 e (√3 / 2) ≈ 7/4 perché 49/16 ≈ 3. Quindi otteniamo
sin 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Questo differisce da il valore vero di meno dell1\%.
Un altro approccio è calcolarlo utilizzando la prima coppia di termini nellespansione della serie di Taylor di sin x . È accurato migliore dello 0,1\%, ma più difficile da calcolare a mano rispetto a 83/144.
Risposta
Sin (35) = Sin (45 – 10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Ora Sin (3x), dalla formula generale, è uguale a 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, quindi mettendo x = 10 gradi, che dà Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 e quindi,
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 o, manipolando questa equazione e mettendo Sin (10) = y, otteniamo
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Risolvi questo cubo utilizzando un metodo iterativo numerico come il metodo di Newton-Raphson, a mano, per ottenere, dopo uno slog:
y = 0.17364817766693 = Sin ( 10)… (2)
Ovviamente puoi andare a meno cifre a seconda della precisione richiesta.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0.9848077530122.
Metti i valori per Cos (10) e Sin (10) in (1) sopra per ottenere:
Sin (35) = 0,57357643639 come richiesto.