Migliore risposta
Dopo aver visto le altre risposte già pubblicate, non sono per niente soddisfatto della loro completezza. … e, come insegnante esperto di matematica, mi sento obbligato a dare una risposta integrale.
La formula cos (2x) che hai indicato è una delle tre identità a doppio angolo per coseno. Risolvendo questa equazione per sin (x / 2) si ottiene lidentità del semiangolo per seno.
Si noti che dove Ho contrassegnato *. Una delle regole meno conosciute della trigonometria indica che è possibile dividere in modo equivalente tutti gli argomenti delle funzioni trigonometriche per la stessa costante su entrambi i lati di unequazione. In effetti, puoi dividere qualsiasi costante. ma questo potrebbe non essere sempre utile. Prova a risolvere lequazione sopra per sin (x / 3), quindi usala per trovare sin (pi / 12). Funziona magnificamente.
Ora, per usare effettivamente la formula sin (x / 2), devi manipolare lequazione data usando una frazione complessa equivalente come mostrato qui:
Naturalmente, questo è dimostrato nella prima immagine sopra. Oltre a conoscere / derivare lidentità semiangolare, la sfida più grande è effettivamente applicarla.
Risposta
I. Usiamo un approccio alla risoluzione dei problemi noto come equivalenza .
Con questo approccio scegliamo un oggetto vantaggioso o un insieme di oggetti e guardiamo a loro da diverse … angolazioni con la speranza di poter derivare una relazione fruttuosa nel processo.
Uno di questi oggetti o nozioni potrebbe essere area quadrata .
Iniziamo con un triangolo rettangolo la cui lunghezza dellipotenusa è ununità, scegliamo un angolo x e segniamo le lunghezze dei lati del triangolo come \ cos x, che accettiamo di trattare come triangolo height e \ sin x, che accettiamo di considerare come la base del triangolo:
Quindi consideriamo un fatto provato che larea quadrata di un triangolo è il prodotto dimezzato della sua base e sopra laltezza:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
Il passaggio successivo è abbastanza impegnativo perché nel vuoto non sappiamo esattamente cosa ci aspetta dallaltra parte di 2 \ sin x \ cos x. Dal punto di vista degli scopritori stiamo fissando labisso dellignoto. Quindi chiamiamola intuizione, un pensiero felice o solo un naso ma ragioniamo così:
ok, abbiamo trovato un modo per allegare una nozione concreta (unarea quadrata) a un altrimenti astratto e, ammettiamolo è unespressione piuttosto misteriosa ma – non esattamente dal momento che dobbiamo ancora lavorare il fattore 2 lì dentro.
Come possiamo farlo?
Bene, che ne dici di unire i due triangoli identici insieme?
Quindi laltezza, o \ cos x nel nostro gergo, rimane la stessa, ma vinciamo saldando le due basi identiche, \ sin x nel nostro gergo, in una:
Osserva che seguiamo / interpretiamo pedanticamente la tua espressione.
Ora è il momento di equivalenza per stare in piedi ed essere contati. La nuova forma composita è ancora un triangolo e la sua area quadrata è ancora:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
ma abbiamo il diritto di guardare la stessa forma in modo diverso: se trattiamo il lato della lunghezza 1 come base, la perpendicolare ad esso, mostrata in rosso, è laltezza. Ma langolo al vertice superiore è 2x. Pertanto, la nuova altezza per definizione è:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Pertanto, la stessa area quadrata dello stesso triangolo può essere reso come:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Ma ( 2 ) e ( 4 ) rappresentano la stessa grandezza. Pertanto:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
da dove scopriamo che:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. Per un trattamento simile ma più letterato, inizia con lo stesso triangolo come sopra e raddoppia la lunghezza del suo lato \ sin x costruendo un cerchio \ sigma con il centro in B e il raggio BA:
Ma ora AC interseca \ sigma in E (finché x 5 ^ {\ circ}) e dal teorema di Thale o dal B3P31 di Euclide (langolo in un semicerchio è retto) langolo a E è retto:
e poiché i triangoli rettangoli ABC e AED condividono un angolo comune \ theta ne segue che \ angle ADE = x e da \ triangle AED per ED abbiamo:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Ma dal triangolo rettangolo CED per ED abbiamo:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
e quindi:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(potresti pensare a questa unequivalenza più sottile poiché abbiamo utilizzato la lunghezza di un segmento di linea per colmare il divario tra i due pezzi insieme)
III. Con ogni probabilità questa versione può sembrare troppo avanzata ma la mostrerò comunque e per due ragioni. Uno dei motivi è dimostrare che in matematica non solo ci sono molti modi diversi per ottenere lo stesso risultato, ma alcuni di questi modi possono sembrare sorprendenti. Laltro motivo: avrai qualcosa da guardare avanti per imparare.
Ad un certo punto della tua educazione matematica potresti incontrare questi oggetti chiamati numeri complessi . Con questi numeri le nostre due funzioni trigonometriche possono essere registrate come segue (a causa di un grande matematico svizzero Leonard Euler (1707–1783)):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
dove e è Numero di Eulero e i ha questa proprietà peculiare che i ^ 2 = -1 ma ignora tutto questo per un momento e semplicemente senza mezzi termini moltiplicare le due frazioni precedenti secondo le regole dellalgebra delle scuole medie:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
secondo ( 5 ).