Migliore risposta
Posso capire che desideri una risposta qui. Tradizionalmente, una piega è il valore di una cosa; ergo, un aumento di una volta è del 100\%. Tuttavia, questo produce confusione poiché la maggior parte delle persone considera un interesse duplice come il doppio del valore (200\%) di una cosa: la definizione popolare. Persino il Dictionary of Mathematics di Collins, definisce “-fold” come “volte”, poiché in “double-fold” equivale a “due volte”, che è uguale a doppio. Alcuni scienziati usano “fold” per essere sinonimo del termine matematico ” volte, “come in” tre volte più grande “significa” tre volte più grande “. Tuttavia, altri insistono nellusare tradizionalmente “piega” per descrivere il valore totale di una cosa; quindi, “60 è una volta maggiore di 30”.
Sono sicuro che questo non ti rende più facile decidere – la versione popolare rispetto alluso più tradizionale – ma per evitare interpretazioni errate, nelluso quotidiano potresti voler restare fedele alla definizione popolare.
Risposta
Domanda interessante. Analizziamola.
- Perché i determinanti vengono calcolati ?
Francamente, non cè una sola ragione al mondo per cui dovresti calcolare un determinante tranne quando viene chiesto in un test di algebra lineare. I determinanti sono usati nella prova di esistenza di una soluzione a un insieme di equazioni lineari della forma Ax = b in cui i determinanti giocano un ruolo importante. Regola di Cramer – Wikipedia
Questa ha portato molte persone fuorviate alla conclusione che questa regola è un buon modo per calcolare detta soluzione. Non lo è. Lascia che ti spieghi perché.
2. Perché i determinanti vengono calcolati nel modo in cui vengono calcolati
La prima cosa che impari nellalgebra lineare 101 è espandere un determinante lungo una riga o una colonna, che può essere formulato ricorsivamente come
\ displaystyle \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
in cui A\_ {kj } è la sottomatrice che ottieni scartando la k-esima riga e la j-esima colonna di A. Questo va bene se la tua matrice è 3 \ times3 o 4 \ times 4, diventa noiosa quando n = 5 e annullabile per qualsiasi n più grande . Ma abbiamo i computer, vero? Tutto ok. Facciamolo scientificamente e contiamo unoperazione. Sia T\_n il numero di operazioni per calcolare un determinante n \ volte n in questo modo. In un contesto di algebra lineare “operazione” è una moltiplicazione seguita da unaddizione. Quindi chiaramente
T\_n = nT\_ {n-1}
Hey! Non suona un campanello? Sì, questa è la funzione di facoltà e T\_n = n !. Ora, se avessimo un computer in grado di eseguire 10 ^ {20} operazioni al secondo, cosa che potrebbe accadere se i computer quantistici diventassero operativi e dovessimo calcolare un determinante 100×100 per espansione di riga o colonna avremmo bisogno
100! = 9.3326E157
operazioni. E 100 \ times100 non è eccessivo, le applicazioni industriali spesso arrivano a milioni. Ora un anno ha 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 secondi, quindi non possiamo fare più di 3,2E27 operazioni allanno, che è solo una goccia nelloceano di 9,3E157. Più specificamente, avremmo bisogno di 3E130 anni e in considerazione del fatto che letà stimata delluniverso è 13,8E9 (6E3 se sei un creazionista) anni, mancano un paio di anni.
Conclusione: questo non è un buon modo per calcolare un determinante.
E per calcolare una soluzione in base alla regola di Cramer, dovresti calcolare 101 determinanti. La regola di Cramer non funziona affatto! È di valore teorico, non pratico.
Ecco perché dovresti usare una scomposizione LU ( decomposizione LU – Wikipedia ) per calcolare un determinante e come ulteriore vantaggio ti dà anche la soluzione al tuo sistema Ax = b. Il conteggio delle operazioni per LU è \ frac13n ^ 3. Per ottenere un determinante da quello moltiplichi tutti gli elementi diagonali di U. (\ cal O (n)). Per ottenere la soluzione del tuo sistema Ax = b richiede altre n ^ 2 operazioni. Quindi tutto ciò richiederebbe operazioni 3.34E5 e saremmo pronti in un batter docchio di 10 ^ {- 14} secondi.
Sheldon Axler ha scritto un testo di algebra lineare che non utilizza determinanti https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
e sono sicuro che Alon Amit (“le matrici fanno schifo, la regola degli operatori”) approverebbe.