Migliore risposta
2x + y = 5, x – y = 1 ha una soluzione unica di x = 2, y = 1. Le rette 2x + y = 5, x – y = 1 si incrociano in uno e solo un punto e questo è (1,2).
Se ci sono due rette parallele come x – y = 1 ex – y = 7 allora non cè soluzione per le equazioni x – y = 1, x – y = 7.
Se 2 equazioni sono in effetti uguali come x – y = 1,5 x – 5y = 5 allora qualsiasi punto che giace su quella linea è una soluzione tale x = 3, y = 2 o x = 1.000 y = 999 e non esiste una soluzione univoca.
diventa un po più interessante in una situazione in cui ci sono 3 variabili, diciamo x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 ha un unico soluzione di x = 1, y = 1, z = 1. I piani 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 si incrociano in uno e solo un punto e cioè (1,1, 1).
Se ci sono tre piani paralleli come x + y + z = 1, x + y + z = 4 e x + y + z = 8 allora non cè soluzione alle equazioni x + y + z = 1, x + y + z = 4 e x + y + z = 8.
Se unequazione è una combinazione lineare di altre due, non esiste una soluzione univoca. Ecco un esempio 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. Non solo (1,1,1) è una soluzione ma anche (2,2, -2) e (3, 3, -7). In effetti ci sono infinite soluzioni.
Il motivo è che unequazione è una combinazione lineare delle altre
3x + z = 4 è 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Ci sono molti riferimenti a questo, ma si spera che questo ti dia unidea di quali sono le soluzioni uniche nei sistemi lineari.
Risposta
La mia risposta presuppone innanzitutto che questo sia un sistema di equazioni lineari rispetto a un sistema con disequazioni lineari.
Risposta breve – Opzioni che si escludono a vicenda: Nessuna soluzione, Una soluzione univoca o un numero infinito di soluzioni.
Risposta lunga – I tipi di soluzioni dipendono in una certa misura da quante equazioni e quante variabili nel sistema lineare e da come si desidera descrivere il sistema.
Algebricamente :
- Un sistema senza soluzioni è chiamato sistema incoerente . Significa che non esiste un insieme di valori per le variabili che risolva simultaneamente tutte le equazioni nel sistema. Il seguente sistema è incoerente:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- Un sistema con esattamente una soluzione è chiamato sistema coerente e indipendente. Coerente perché esiste una soluzione e indipendente perché ogni equazione è indipendente dalle altre equazioni. Ciò significa che ogni valore per le variabili nella soluzione è indipendente dai valori delle altre variabili. Esiste esattamente un insieme di valori – un valore per variabile – che risolve contemporaneamente tutte le equazioni nel sistema. Quello che segue è un sistema coerente e indipendente (tratto da mathisfun.com) con la soluzione x = 5 y = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- Un sistema con infinite soluzioni è chiamato coerente, sistema dipendente. Dipende perché almeno unequazione nel sistema è un multiplo di unaltra equazione o una combinazione di altre equazioni. Ciò significa che mentre le altre variabili nel sistema hanno un solo valore che risolve contemporaneamente tutti i sistemi, una o più variabili possono risolvere il sistema con qualsiasi valore. Il seguente è un sistema dipendente coerente con la soluzione y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y – 3 z = 3
- 2 x + 3 y – 2 z = 8
Graficamente (un sistema a 3 variabili come esempio):
- Un sistema con due variabili può essere rappresentato da un gruppo di linee su un grafico bidimensionale (di solito xy), mentre un sistema con tre variabili è una raccolta di linee o piani su un grafico tridimensionale (solitamente xyz).Quindi, un sistema con n molte variabili è rappresentato su un grafico dimensionale n- .
- In un sistema coerente e indipendente , tutti i piani si incontrano in un punto (cioè 2 muri e un piano che si incontrano in un angolo). Nel sistema coerente e indipendente utilizzato sopra nella risposta algebrica, i tre piani si intersecano tutti nel punto (5,3,2).
- In un coerente , sistema dipendente , tutti i piani si incontrano non in un solo punto, ma in una linea (cioè tre pagine di un libro che si incontrano sul dorso). Nel sistema utilizzato sopra nella risposta algebrica, i tre piani si intersecano tutti sulla linea -5 y + 20 z = 27 (si noti che x può essere qualsiasi valore nella soluzione).
- In un sistema incoerente , almeno due piani sono paralleli e quindi non si incontrano mai. Il terzo piano può essere parallelo a entrambi i piani (cioè linee stradali su una strada) o può intersecarli entrambi ma mai nello stesso punto. (cioè pareti opposte in una stanza e il soffitto).